Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3684 / 2532
↖ ↑ ↗
← N 56.462490°
W 18.105469°		 ← 2 699.70 m → N 56.462490°
W 18.061523°		 →
↑
2 700.54 m
↓
↑
2 700.54 m
↓
N 56.438204°
W 18.105469°		 ← 2 701.43 m →
7 292 987 m²		 N 56.438204°
W 18.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44976806640625 y=0.30914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44976806640625 × 213)
    floor (0.44976806640625 × 8192)
    floor (3684.5)     		tx = 3684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30914306640625 × 213)
    floor (0.30914306640625 × 8192)
    floor (2532.5)     		ty = 2532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3684 / 2532 ti = "13/3684/2532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3684/2532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3684 ÷ 213
    3684 ÷ 8192     		x = 0.44970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2532 ÷ 213
    2532 ÷ 8192     		y = 0.30908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30908203125 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31600004} λ = -0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19957297609229))-π/2
    2×atan(3.31869945610174)-π/2
    2×1.2781263447979-π/2
    2.5562526895958-1.57079632675     		φ = 0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3684 KachelY 2532 -0.31600004 0.98545636 -18.105469 56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 3685 KachelY 2532 -0.31523305 0.98545636 -18.061523 56.462490
    Unten links KachelX 3684 KachelY + 1 2533 -0.31600004 0.98503248 -18.105469 56.438204
    Unten rechts KachelX + 1 3685 KachelY + 1 2533 -0.31523305 0.98503248 -18.061523 56.438204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98545636-0.98503248) × R
    0.000423880000000043 × 6371000     		dl = 2700.53948000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98545636-0.98503248) × R
    0.000423880000000043 × 6371000     		dr = 2700.53948000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31600004--0.31523305) × cos(0.98545636) × R
    0.000766989999999967 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 2699.70342095902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31600004--0.31523305) × cos(0.98503248) × R
    0.000766989999999967 × 0.552836049479322 × 6371000     		du = 2701.4296462507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98545636)-sin(0.98503248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.552836049479322)×R²
    abs(-0.31523305--0.31600004)×0.000353264639738393×R²
    0.000766989999999967×0.000353264639738393×6371000²
    0.000766989999999967×0.000353264639738393×40589641000000     		ar = 7292986.65156394m²