Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36825 / 30504
↖ ↑ ↗
← N 12.340002°
E 22.285766°		 ← 596.74 m → N 12.340002°
E 22.291260°		 →
↑
596.71 m
↓
↑
596.71 m
↓
N 12.334635°
E 22.285766°		 ← 596.75 m →
356 082 m²		 N 12.334635°
E 22.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561912536621094 y=0.465461730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561912536621094 × 216)
    floor (0.561912536621094 × 65536)
    floor (36825.5)     		tx = 36825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465461730957031 × 216)
    floor (0.465461730957031 × 65536)
    floor (30504.5)     		ty = 30504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36825 / 30504 ti = "16/36825/30504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36825/30504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36825 ÷ 216
    36825 ÷ 65536     		x = 0.561904907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30504 ÷ 216
    30504 ÷ 65536     		y = 0.4654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561904907226562 × 2 - 1) × π
    0.123809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38896000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4654541015625 × 2 - 1) × π
    0.069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.217058281479614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38896000} λ = 0.38896000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217058281479614))-π/2
    2×atan(1.24241650990022)-π/2
    2×0.893084994248152-π/2
    1.7861699884963-1.57079632675     		φ = 0.21537366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38896000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.285766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21537366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.340002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36825 KachelY 30504 0.38896000 0.21537366 22.285766 12.340002
    Oben rechts KachelX + 1 36826 KachelY 30504 0.38905588 0.21537366 22.291260 12.340002
    Unten links KachelX 36825 KachelY + 1 30505 0.38896000 0.21528000 22.285766 12.334635
    Unten rechts KachelX + 1 36826 KachelY + 1 30505 0.38905588 0.21528000 22.291260 12.334635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21537366-0.21528000) × R
    9.36599999999954e-05 × 6371000     		dl = 596.707859999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21537366-0.21528000) × R
    9.36599999999954e-05 × 6371000     		dr = 596.707859999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38896000-0.38905588) × cos(0.21537366) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.97689660660506 × 6371000     		do = 596.738737951978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38896000-0.38905588) × cos(0.21528000) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.976916618630244 × 6371000     		du = 596.75096232718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21537366)-sin(0.21528000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97689660660506-0.976916618630244)×R²
    abs(0.38905588-0.38896000)×2.00120251842018e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.00120251842018e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.00120251842018e-05×40589641000000     		ar = 356082.342753158m²