Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36822 / 30663
↖ ↑ ↗
← N 11.485408°
E 22.269287°		 ← 598.62 m → N 11.485408°
E 22.274781°		 →
↑
598.56 m
↓
↑
598.56 m
↓
N 11.480025°
E 22.269287°		 ← 598.63 m →
358 310 m²		 N 11.480025°
E 22.274781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561866760253906 y=0.467887878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561866760253906 × 216)
    floor (0.561866760253906 × 65536)
    floor (36822.5)     		tx = 36822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467887878417969 × 216)
    floor (0.467887878417969 × 65536)
    floor (30663.5)     		ty = 30663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36822 / 30663 ti = "16/36822/30663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36822/30663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36822 ÷ 216
    36822 ÷ 65536     		x = 0.561859130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30663 ÷ 216
    30663 ÷ 65536     		y = 0.467880249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561859130859375 × 2 - 1) × π
    0.12371826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38867238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467880249023438 × 2 - 1) × π
    0.064239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.201814347400436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38867238} λ = 0.38867238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201814347400436))-π/2
    2×atan(1.22362081863699)-π/2
    2×0.885627254991342-π/2
    1.77125450998268-1.57079632675     		φ = 0.20045818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38867238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.269287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20045818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.485408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36822 KachelY 30663 0.38867238 0.20045818 22.269287 11.485408
    Oben rechts KachelX + 1 36823 KachelY 30663 0.38876826 0.20045818 22.274781 11.485408
    Unten links KachelX 36822 KachelY + 1 30664 0.38867238 0.20036423 22.269287 11.480025
    Unten rechts KachelX + 1 36823 KachelY + 1 30664 0.38876826 0.20036423 22.274781 11.480025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20045818-0.20036423) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dl = 598.555450000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20045818-0.20036423) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dr = 598.555450000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38867238-0.38876826) × cos(0.20045818) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979975448658289 × 6371000     		do = 598.619453176534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38867238-0.38876826) × cos(0.20036423) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979994151502959 × 6371000     		du = 598.630877836881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20045818)-sin(0.20036423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979975448658289-0.979994151502959)×R²
    abs(0.38876826-0.38867238)×1.87028446698712e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87028446698712e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87028446698712e-05×40589641000000     		ar = 358310.355584793m²