Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36821 / 36781
↖ ↑ ↗
← S 21.519517°
E 22.263794°		 ← 568.21 m → S 21.519517°
E 22.269287°		 →
↑
568.23 m
↓
↑
568.23 m
↓
S 21.524627°
E 22.263794°		 ← 568.19 m →
322 869 m²		 S 21.524627°
E 22.269287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561851501464844 y=0.561241149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561851501464844 × 216)
    floor (0.561851501464844 × 65536)
    floor (36821.5)     		tx = 36821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561241149902344 × 216)
    floor (0.561241149902344 × 65536)
    floor (36781.5)     		ty = 36781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36821 / 36781 ti = "16/36821/36781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36821/36781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36821 ÷ 216
    36821 ÷ 65536     		x = 0.561843872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36781 ÷ 216
    36781 ÷ 65536     		y = 0.561233520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561843872070312 × 2 - 1) × π
    0.123687744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38857651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561233520507812 × 2 - 1) × π
    -0.122467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.384741556350571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38857651} λ = 0.38857651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.384741556350571))-π/2
    2×atan(0.680626517076933)-π/2
    2×0.597604950333235-π/2
    1.19520990066647-1.57079632675     		φ = -0.37558643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38857651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.263794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37558643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.519517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36821 KachelY 36781 0.38857651 -0.37558643 22.263794 -21.519517
    Oben rechts KachelX + 1 36822 KachelY 36781 0.38867238 -0.37558643 22.269287 -21.519517
    Unten links KachelX 36821 KachelY + 1 36782 0.38857651 -0.37567562 22.263794 -21.524627
    Unten rechts KachelX + 1 36822 KachelY + 1 36782 0.38867238 -0.37567562 22.269287 -21.524627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37558643--0.37567562) × R
    8.91899999999612e-05 × 6371000     		dl = 568.229489999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37558643--0.37567562) × R
    8.91899999999612e-05 × 6371000     		dr = 568.229489999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38857651-0.38867238) × cos(-0.37558643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930292668724545 × 6371000     		do = 568.211384577601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38857651-0.38867238) × cos(-0.37567562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930259948514183 × 6371000     		du = 568.191399473281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37558643)-sin(-0.37567562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930292668724545-0.930259948514183)×R²
    abs(0.38867238-0.38857651)×3.27202103617141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27202103617141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27202103617141e-05×40589641000000     		ar = 322868.787421861m²