Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36820 / 36787
↖ ↑ ↗
← S 21.550175°
E 22.258301°		 ← 568.15 m → S 21.550175°
E 22.263794°		 →
↑
568.10 m
↓
↑
568.10 m
↓
S 21.555284°
E 22.258301°		 ← 568.13 m →
322 762 m²		 S 21.555284°
E 22.263794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561836242675781 y=0.561332702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561836242675781 × 216)
    floor (0.561836242675781 × 65536)
    floor (36820.5)     		tx = 36820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561332702636719 × 216)
    floor (0.561332702636719 × 65536)
    floor (36787.5)     		ty = 36787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36820 / 36787 ti = "16/36820/36787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36820/36787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36820 ÷ 216
    36820 ÷ 65536     		x = 0.56182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36787 ÷ 216
    36787 ÷ 65536     		y = 0.561325073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56182861328125 × 2 - 1) × π
    0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.122650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.385316799146011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38848063} λ = 0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.385316799146011))-π/2
    2×atan(0.680235104166121)-π/2
    2×0.597337406496065-π/2
    1.19467481299213-1.57079632675     		φ = -0.37612151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37612151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.550175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36820 KachelY 36787 0.38848063 -0.37612151 22.258301 -21.550175
    Oben rechts KachelX + 1 36821 KachelY 36787 0.38857651 -0.37612151 22.263794 -21.550175
    Unten links KachelX 36820 KachelY + 1 36788 0.38848063 -0.37621068 22.258301 -21.555284
    Unten rechts KachelX + 1 36821 KachelY + 1 36788 0.38857651 -0.37621068 22.263794 -21.555284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37612151--0.37621068) × R
    8.91700000000273e-05 × 6371000     		dl = 568.102070000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37612151--0.37621068) × R
    8.91700000000273e-05 × 6371000     		dr = 568.102070000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38848063-0.38857651) × cos(-0.37612151) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.930096258505276 × 6371000     		do = 568.150676050367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38848063-0.38857651) × cos(-0.37621068) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.93006350125127 × 6371000     		du = 568.130666233277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37612151)-sin(-0.37621068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930096258505276-0.93006350125127)×R²
    abs(0.38857651-0.38848063)×3.27572540059773e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.27572540059773e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.27572540059773e-05×40589641000000     		ar = 322761.891540824m²