Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3682 / 4364
↖ ↑ ↗
← N 78.603985°
W139.548340°		 ← 241.38 m → N 78.603985°
W139.537354°		 →
↑
241.40 m
↓
↑
241.40 m
↓
N 78.601814°
W139.548340°		 ← 241.43 m →
58 275 m²		 N 78.601814°
W139.537354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112380981445312 y=0.133193969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112380981445312 × 215)
    floor (0.112380981445312 × 32768)
    floor (3682.5)     		tx = 3682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133193969726562 × 215)
    floor (0.133193969726562 × 32768)
    floor (4364.5)     		ty = 4364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3682 / 4364 ti = "15/3682/4364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3682/4364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3682 ÷ 215
    3682 ÷ 32768     		x = 0.11236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4364 ÷ 215
    4364 ÷ 32768     		y = 0.1331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.7752685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.43557800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1331787109375 × 2 - 1) × π
    0.733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3048061337323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43557800} λ = -2.43557800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3048061337323))-π/2
    2×atan(10.0222350907632)-π/2
    2×1.47134734012068-π/2
    2.94269468024137-1.57079632675     		φ = 1.37189835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43557800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.548340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37189835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.603985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3682 KachelY 4364 -2.43557800 1.37189835 -139.548340 78.603985
    Oben rechts KachelX + 1 3683 KachelY 4364 -2.43538625 1.37189835 -139.537354 78.603985
    Unten links KachelX 3682 KachelY + 1 4365 -2.43557800 1.37186046 -139.548340 78.601814
    Unten rechts KachelX + 1 3683 KachelY + 1 4365 -2.43538625 1.37186046 -139.537354 78.601814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37189835-1.37186046) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dl = 241.397189999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37189835-1.37186046) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dr = 241.397189999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43557800--2.43538625) × cos(1.37189835) × R
    0.000191749999999935 × 0.197589154264864 × 6371000     		do = 241.382666224181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43557800--2.43538625) × cos(1.37186046) × R
    0.000191749999999935 × 0.197626297118673 × 6371000     		du = 241.428041392251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37189835)-sin(1.37186046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197589154264864-0.197626297118673)×R²
    abs(-2.43538625--2.43557800)×3.71428538088192e-05×R²
    0.000191749999999935×3.71428538088192e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.71428538088192e-05×40589641000000     		ar = 58274.5740675517m²