Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3682 / 2881
↖ ↑ ↗
← N 47.010226°
W 18.193359°		 ← 3 331.94 m → N 47.010226°
W 18.149414°		 →
↑
3 332.86 m
↓
↑
3 332.86 m
↓
N 46.980253°
W 18.193359°		 ← 3 333.81 m →
11 108 018 m²		 N 46.980253°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44952392578125 y=0.35174560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44952392578125 × 213)
    floor (0.44952392578125 × 8192)
    floor (3682.5)     		tx = 3682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35174560546875 × 213)
    floor (0.35174560546875 × 8192)
    floor (2881.5)     		ty = 2881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3682 / 2881 ti = "13/3682/2881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3682/2881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3682 ÷ 213
    3682 ÷ 8192     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2881 ÷ 213
    2881 ÷ 8192     		y = 0.3516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3516845703125 × 2 - 1) × π
    0.296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.931893328613892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931893328613892))-π/2
    2×atan(2.53931238195328)-π/2
    2×1.19563977328696-π/2
    2.39127954657392-1.57079632675     		φ = 0.82048322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82048322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.010226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3682 KachelY 2881 -0.31753402 0.82048322 -18.193359 47.010226
    Oben rechts KachelX + 1 3683 KachelY 2881 -0.31676703 0.82048322 -18.149414 47.010226
    Unten links KachelX 3682 KachelY + 1 2882 -0.31753402 0.81996009 -18.193359 46.980253
    Unten rechts KachelX + 1 3683 KachelY + 1 2882 -0.31676703 0.81996009 -18.149414 46.980253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82048322-0.81996009) × R
    0.000523129999999927 × 6371000     		dl = 3332.86122999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82048322-0.81996009) × R
    0.000523129999999927 × 6371000     		dr = 3332.86122999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31676703) × cos(0.82048322) × R
    0.000766989999999967 × 0.681867823363663 × 6371000     		do = 3331.9425435333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31676703) × cos(0.81996009) × R
    0.000766989999999967 × 0.682250386774346 × 6371000     		du = 3333.81193707261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82048322)-sin(0.81996009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681867823363663-0.682250386774346)×R²
    abs(-0.31676703--0.31753402)×0.000382563410683434×R²
    0.000766989999999967×0.000382563410683434×6371000²
    0.000766989999999967×0.000382563410683434×40589641000000     		ar = 11108017.591878m²