Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3682 / 2362
↖ ↑ ↗
← N 60.370429°
W 18.193359°		 ← 2 415.84 m → N 60.370429°
W 18.149414°		 →
↑
2 416.65 m
↓
↑
2 416.65 m
↓
N 60.348696°
W 18.193359°		 ← 2 417.45 m →
5 840 172 m²		 N 60.348696°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44952392578125 y=0.28839111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44952392578125 × 213)
    floor (0.44952392578125 × 8192)
    floor (3682.5)     		tx = 3682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28839111328125 × 213)
    floor (0.28839111328125 × 8192)
    floor (2362.5)     		ty = 2362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3682 / 2362 ti = "13/3682/2362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3682/2362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3682 ÷ 213
    3682 ÷ 8192     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2362 ÷ 213
    2362 ÷ 8192     		y = 0.288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288330078125 × 2 - 1) × π
    0.42333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32996134305884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32996134305884))-π/2
    2×atan(3.7808972268221)-π/2
    2×1.31222954197616-π/2
    2.62445908395232-1.57079632675     		φ = 1.05366276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05366276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.370429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3682 KachelY 2362 -0.31753402 1.05366276 -18.193359 60.370429
    Oben rechts KachelX + 1 3683 KachelY 2362 -0.31676703 1.05366276 -18.149414 60.370429
    Unten links KachelX 3682 KachelY + 1 2363 -0.31753402 1.05328344 -18.193359 60.348696
    Unten rechts KachelX + 1 3683 KachelY + 1 2363 -0.31676703 1.05328344 -18.149414 60.348696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05366276-1.05328344) × R
    0.000379319999999961 × 6371000     		dl = 2416.64771999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05366276-1.05328344) × R
    0.000379319999999961 × 6371000     		dr = 2416.64771999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31676703) × cos(1.05366276) × R
    0.000766989999999967 × 0.49439055424619 × 6371000     		do = 2415.83612596329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31676703) × cos(1.05328344) × R
    0.000766989999999967 × 0.494720238744579 × 6371000     		du = 2417.44712705248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05366276)-sin(1.05328344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49439055424619-0.494720238744579)×R²
    abs(-0.31676703--0.31753402)×0.000329684498389327×R²
    0.000766989999999967×0.000329684498389327×6371000²
    0.000766989999999967×0.000329684498389327×40589641000000     		ar = 5840171.54678408m²