Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36819 / 36782
↖ ↑ ↗
← S 21.524627°
E 22.252808°		 ← 568.19 m → S 21.524627°
E 22.258301°		 →
↑
568.17 m
↓
↑
568.17 m
↓
S 21.529737°
E 22.252808°		 ← 568.17 m →
322 821 m²		 S 21.529737°
E 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561820983886719 y=0.561256408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561820983886719 × 216)
    floor (0.561820983886719 × 65536)
    floor (36819.5)     		tx = 36819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561256408691406 × 216)
    floor (0.561256408691406 × 65536)
    floor (36782.5)     		ty = 36782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36819 / 36782 ti = "16/36819/36782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36819/36782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36819 ÷ 216
    36819 ÷ 65536     		x = 0.561813354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36782 ÷ 216
    36782 ÷ 65536     		y = 0.561248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561813354492188 × 2 - 1) × π
    0.123626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38838476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12249755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.384837430149811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38838476} λ = 0.38838476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.384837430149811))-π/2
    2×atan(0.680561265954864)-π/2
    2×0.597560355771109-π/2
    1.19512071154222-1.57079632675     		φ = -0.37567562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38838476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.252808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37567562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.524627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36819 KachelY 36782 0.38838476 -0.37567562 22.252808 -21.524627
    Oben rechts KachelX + 1 36820 KachelY 36782 0.38848063 -0.37567562 22.258301 -21.524627
    Unten links KachelX 36819 KachelY + 1 36783 0.38838476 -0.37576480 22.252808 -21.529737
    Unten rechts KachelX + 1 36820 KachelY + 1 36783 0.38848063 -0.37576480 22.258301 -21.529737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37567562--0.37576480) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dl = 568.16578000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37567562--0.37576480) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dr = 568.16578000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38838476-0.38848063) × cos(-0.37567562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930259948514183 × 6371000     		do = 568.191399473281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38838476-0.38848063) × cos(-0.37576480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930227224573579 × 6371000     		du = 568.171412090573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37567562)-sin(-0.37576480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930259948514183-0.930227224573579)×R²
    abs(0.38848063-0.38838476)×3.27239406049395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27239406049395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27239406049395e-05×40589641000000     		ar = 322821.23181154m²