Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36814 / 38278
↖ ↑ ↗
← S 28.950476°
E 22.225342°		 ← 534.52 m → S 28.950476°
E 22.230835°		 →
↑
534.46 m
↓
↑
534.46 m
↓
S 28.955282°
E 22.225342°		 ← 534.49 m →
285 674 m²		 S 28.955282°
E 22.230835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561744689941406 y=0.584083557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561744689941406 × 216)
    floor (0.561744689941406 × 65536)
    floor (36814.5)     		tx = 36814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584083557128906 × 216)
    floor (0.584083557128906 × 65536)
    floor (38278.5)     		ty = 38278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36814 / 38278 ti = "16/36814/38278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36814/38278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36814 ÷ 216
    36814 ÷ 65536     		x = 0.561737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38278 ÷ 216
    38278 ÷ 65536     		y = 0.584075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561737060546875 × 2 - 1) × π
    0.12347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38790539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.16815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.528264633813019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38790539} λ = 0.38790539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528264633813019))-π/2
    2×atan(0.589627301643824)-π/2
    2×0.532757603131742-π/2
    1.06551520626348-1.57079632675     		φ = -0.50528112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38790539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.225342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50528112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.950476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36814 KachelY 38278 0.38790539 -0.50528112 22.225342 -28.950476
    Oben rechts KachelX + 1 36815 KachelY 38278 0.38800127 -0.50528112 22.230835 -28.950476
    Unten links KachelX 36814 KachelY + 1 38279 0.38790539 -0.50536501 22.225342 -28.955282
    Unten rechts KachelX + 1 36815 KachelY + 1 38279 0.38800127 -0.50536501 22.230835 -28.955282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50528112--0.50536501) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dl = 534.463189999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50528112--0.50536501) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dr = 534.463189999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38790539-0.38800127) × cos(-0.50528112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875038431898526 × 6371000     		do = 534.518521182053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38790539-0.38800127) × cos(-0.50536501) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874997821575577 × 6371000     		du = 534.493714306176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50528112)-sin(-0.50536501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875038431898526-0.874997821575577)×R²
    abs(0.38800127-0.38790539)×4.06103229494414e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.06103229494414e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.06103229494414e-05×40589641000000     		ar = 285673.844931463m²