Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36811 / 28877
↖ ↑ ↗
← N 70.424839°
W 78.895569°		 ← 102.33 m → N 70.424839°
W 78.892822°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
N 70.423919°
W 78.895569°		 ← 102.34 m →
10 471 m²		 N 70.423919°
W 78.892822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280849456787109 y=0.220317840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280849456787109 × 217)
    floor (0.280849456787109 × 131072)
    floor (36811.5)     		tx = 36811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220317840576172 × 217)
    floor (0.220317840576172 × 131072)
    floor (28877.5)     		ty = 28877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36811 / 28877 ti = "17/36811/28877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36811/28877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36811 ÷ 217
    36811 ÷ 131072     		x = 0.280845642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28877 ÷ 217
    28877 ÷ 131072     		y = 0.220314025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280845642089844 × 2 - 1) × π
    -0.438308715820312 × 3.1415926535     		Λ = -1.37698744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220314025878906 × 2 - 1) × π
    0.559371948242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.75731880317164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37698744} λ = -1.37698744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75731880317164))-π/2
    2×atan(5.7968739793088)-π/2
    2×1.39997082496945-π/2
    2.79994164993889-1.57079632675     		φ = 1.22914532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37698744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.895569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22914532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.424839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36811 KachelY 28877 -1.37698744 1.22914532 -78.895569 70.424839
    Oben rechts KachelX + 1 36812 KachelY 28877 -1.37693950 1.22914532 -78.892822 70.424839
    Unten links KachelX 36811 KachelY + 1 28878 -1.37698744 1.22912926 -78.895569 70.423919
    Unten rechts KachelX + 1 36812 KachelY + 1 28878 -1.37693950 1.22912926 -78.892822 70.423919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22914532-1.22912926) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22914532-1.22912926) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37698744--1.37693950) × cos(1.22914532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335043131279038 × 6371000     		do = 102.33079630275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37698744--1.37693950) × cos(1.22912926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33505826301266 × 6371000     		du = 102.335417923689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22914532)-sin(1.22912926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335043131279038-0.33505826301266)×R²
    abs(-1.37693950--1.37698744)×1.51317336220536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51317336220536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51317336220536e-05×40589641000000     		ar = 10470.5454603266m²