Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3681 / 1879
↖ ↑ ↗
← N 69.302794°
W 18.237304°		 ← 1 727.03 m → N 69.302794°
W 18.193359°		 →
↑
1 727.69 m
↓
↑
1 727.69 m
↓
N 69.287257°
W 18.237304°		 ← 1 728.27 m →
2 984 839 m²		 N 69.287257°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44940185546875 y=0.22943115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44940185546875 × 213)
    floor (0.44940185546875 × 8192)
    floor (3681.5)     		tx = 3681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22943115234375 × 213)
    floor (0.22943115234375 × 8192)
    floor (1879.5)     		ty = 1879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3681 / 1879 ti = "13/3681/1879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3681/1879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3681 ÷ 213
    3681 ÷ 8192     		x = 0.4493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1879 ÷ 213
    1879 ÷ 8192     		y = 0.2293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2293701171875 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70041770332263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31830101} λ = -0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70041770332263))-π/2
    2×atan(5.47623435534353)-π/2
    2×1.39017913217408-π/2
    2.78035826434815-1.57079632675     		φ = 1.20956194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20956194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.302794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3681 KachelY 1879 -0.31830101 1.20956194 -18.237304 69.302794
    Oben rechts KachelX + 1 3682 KachelY 1879 -0.31753402 1.20956194 -18.193359 69.302794
    Unten links KachelX 3681 KachelY + 1 1880 -0.31830101 1.20929076 -18.237304 69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 3682 KachelY + 1 1880 -0.31753402 1.20929076 -18.193359 69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20956194-1.20929076) × R
    0.000271179999999926 × 6371000     		dl = 1727.68777999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20956194-1.20929076) × R
    0.000271179999999926 × 6371000     		dr = 1727.68777999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31830101--0.31753402) × cos(1.20956194) × R
    0.000766990000000023 × 0.353429223280258 × 6371000     		do = 1727.02952804894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31830101--0.31753402) × cos(1.20929076) × R
    0.000766990000000023 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 1728.26906226645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20956194)-sin(1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353429223280258-0.353682888668491)×R²
    abs(-0.31753402--0.31830101)×0.000253665388232738×R²
    0.000766990000000023×0.000253665388232738×6371000²
    0.000766990000000023×0.000253665388232738×40589641000000     		ar = 2984838.59366116m²