Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36804 / 30662
↖ ↑ ↗
← N 11.490791°
E 22.170410°		 ← 598.61 m → N 11.490791°
E 22.175903°		 →
↑
598.62 m
↓
↑
598.62 m
↓
N 11.485408°
E 22.170410°		 ← 598.62 m →
358 342 m²		 N 11.485408°
E 22.175903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561592102050781 y=0.467872619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561592102050781 × 216)
    floor (0.561592102050781 × 65536)
    floor (36804.5)     		tx = 36804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467872619628906 × 216)
    floor (0.467872619628906 × 65536)
    floor (30662.5)     		ty = 30662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36804 / 30662 ti = "16/36804/30662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36804/30662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36804 ÷ 216
    36804 ÷ 65536     		x = 0.56158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30662 ÷ 216
    30662 ÷ 65536     		y = 0.467864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56158447265625 × 2 - 1) × π
    0.1231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38694665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467864990234375 × 2 - 1) × π
    0.06427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.201910221199677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38694665} λ = 0.38694665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201910221199677))-π/2
    2×atan(1.22373813743751)-π/2
    2×0.885674231527557-π/2
    1.77134846305511-1.57079632675     		φ = 0.20055214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38694665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20055214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.490791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36804 KachelY 30662 0.38694665 0.20055214 22.170410 11.490791
    Oben rechts KachelX + 1 36805 KachelY 30662 0.38704253 0.20055214 22.175903 11.490791
    Unten links KachelX 36804 KachelY + 1 30663 0.38694665 0.20045818 22.170410 11.485408
    Unten rechts KachelX + 1 36805 KachelY + 1 30663 0.38704253 0.20045818 22.175903 11.485408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20055214-0.20045818) × R
    9.39599999999763e-05 × 6371000     		dl = 598.619159999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20055214-0.20045818) × R
    9.39599999999763e-05 × 6371000     		dr = 598.619159999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38694665-0.38704253) × cos(0.20055214) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979956735171661 × 6371000     		do = 598.608022015531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38694665-0.38704253) × cos(0.20045818) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979975448658289 × 6371000     		du = 598.619453176534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20055214)-sin(0.20045818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979956735171661-0.979975448658289)×R²
    abs(0.38704253-0.38694665)×1.87134866279637e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87134866279637e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87134866279637e-05×40589641000000     		ar = 358341.653027724m²