Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3680 / 1942
↖ ↑ ↗
← N 68.301905°
W 18.281250°		 ← 1 806.61 m → N 68.301905°
W 18.237304°		 →
↑
1 807.26 m
↓
↑
1 807.26 m
↓
N 68.285651°
W 18.281250°		 ← 1 807.90 m →
3 266 188 m²		 N 68.285651°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44927978515625 y=0.23712158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44927978515625 × 213)
    floor (0.44927978515625 × 8192)
    floor (3680.5)     		tx = 3680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23712158203125 × 213)
    floor (0.23712158203125 × 8192)
    floor (1942.5)     		ty = 1942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3680 / 1942 ti = "13/3680/1942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3680/1942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3680 ÷ 213
    3680 ÷ 8192     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1942 ÷ 213
    1942 ÷ 8192     		y = 0.237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237060546875 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65209730850562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65209730850562))-π/2
    2×atan(5.21791193024908)-π/2
    2×1.38144472310452-π/2
    2.76288944620904-1.57079632675     		φ = 1.19209312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19209312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3680 KachelY 1942 -0.31906800 1.19209312 -18.281250 68.301905
    Oben rechts KachelX + 1 3681 KachelY 1942 -0.31830101 1.19209312 -18.237304 68.301905
    Unten links KachelX 3680 KachelY + 1 1943 -0.31906800 1.19180945 -18.281250 68.285651
    Unten rechts KachelX + 1 3681 KachelY + 1 1943 -0.31830101 1.19180945 -18.237304 68.285651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19209312-1.19180945) × R
    0.000283669999999958 × 6371000     		dl = 1807.26156999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19209312-1.19180945) × R
    0.000283669999999958 × 6371000     		dr = 1807.26156999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31830101) × cos(1.19209312) × R
    0.000766990000000023 × 0.369715871877928 × 6371000     		do = 1806.61412713805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31830101) × cos(1.19180945) × R
    0.000766990000000023 × 0.369979427522049 × 6371000     		du = 1807.90199002459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19209312)-sin(1.19180945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369715871877928-0.369979427522049)×R²
    abs(-0.31830101--0.31906800)×0.00026355564412045×R²
    0.000766990000000023×0.00026355564412045×6371000²
    0.000766990000000023×0.00026355564412045×40589641000000     		ar = 3266188.05824945m²