Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 368 / 437
↖ ↑ ↗
← N 25.482951°
W 50.625000°		 ← 35.289 km → N 25.482951°
W 50.273437°		 →
↑
35.335 km
↓
↑
35.335 km
↓
N 25.165173°
W 50.625000°		 ← 35.382 km →
1 248.58 km²		 N 25.165173°
W 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35986328125 y=0.42724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35986328125 × 210)
    floor (0.35986328125 × 1024)
    floor (368.5)     		tx = 368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42724609375 × 210)
    floor (0.42724609375 × 1024)
    floor (437.5)     		ty = 437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 368 / 437 ti = "10/368/437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/368/437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 368 ÷ 210
    368 ÷ 1024     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 437 ÷ 210
    437 ÷ 1024     		y = 0.4267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460194236352539))-π/2
    2×atan(1.5843816996312)-π/2
    2×1.00777886395897-π/2
    2.01555772791793-1.57079632675     		φ = 0.44476140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44476140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.482951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 368 KachelY 437 -0.88357293 0.44476140 -50.625000 25.482951
    Oben rechts KachelX + 1 369 KachelY 437 -0.87743701 0.44476140 -50.273437 25.482951
    Unten links KachelX 368 KachelY + 1 438 -0.88357293 0.43921513 -50.625000 25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 369 KachelY + 1 438 -0.87743701 0.43921513 -50.273437 25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44476140-0.43921513) × R
    0.00554626999999996 × 6371000     		dl = 35335.2861699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44476140-0.43921513) × R
    0.00554626999999996 × 6371000     		dr = 35335.2861699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.87743701) × cos(0.44476140) × R
    0.00613592000000007 × 0.902713346952603 × 6371000     		do = 35288.8217014191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.87743701) × cos(0.43921513) × R
    0.00613592000000007 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 35381.561271834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44476140)-sin(0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902713346952603-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.87743701--0.88357293)×0.00237234466802305×R²
    0.00613592000000007×0.00237234466802305×6371000²
    0.00613592000000007×0.00237234466802305×40589641000000     		ar = 1248582303.70156m²