Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36799 / 38339
↖ ↑ ↗
← S 29.243270°
E 22.142944°		 ← 533 m → S 29.243270°
E 22.148438°		 →
↑
532.93 m
↓
↑
532.93 m
↓
S 29.248063°
E 22.142944°		 ← 532.98 m →
284 048 m²		 S 29.248063°
E 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561515808105469 y=0.585014343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561515808105469 × 216)
    floor (0.561515808105469 × 65536)
    floor (36799.5)     		tx = 36799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585014343261719 × 216)
    floor (0.585014343261719 × 65536)
    floor (38339.5)     		ty = 38339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36799 / 38339 ti = "16/36799/38339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36799/38339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36799 ÷ 216
    36799 ÷ 65536     		x = 0.561508178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38339 ÷ 216
    38339 ÷ 65536     		y = 0.585006713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561508178710938 × 2 - 1) × π
    0.123016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38646728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585006713867188 × 2 - 1) × π
    -0.170013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.534112935566666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38646728} λ = 0.38646728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534112935566666))-π/2
    2×atan(0.586189047036621)-π/2
    2×0.530202488211053-π/2
    1.06040497642211-1.57079632675     		φ = -0.51039135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38646728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.142944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51039135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.243270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36799 KachelY 38339 0.38646728 -0.51039135 22.142944 -29.243270
    Oben rechts KachelX + 1 36800 KachelY 38339 0.38656316 -0.51039135 22.148438 -29.243270
    Unten links KachelX 36799 KachelY + 1 38340 0.38646728 -0.51047500 22.142944 -29.248063
    Unten rechts KachelX + 1 36800 KachelY + 1 38340 0.38656316 -0.51047500 22.148438 -29.248063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51039135--0.51047500) × R
    8.36499999999907e-05 × 6371000     		dl = 532.934149999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51039135--0.51047500) × R
    8.36499999999907e-05 × 6371000     		dr = 532.934149999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38646728-0.38656316) × cos(-0.51039135) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872553392652546 × 6371000     		do = 533.000531280788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38646728-0.38656316) × cos(-0.51047500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872512525005714 × 6371000     		du = 532.975567218236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51039135)-sin(-0.51047500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872553392652546-0.872512525005714)×R²
    abs(0.38656316-0.38646728)×4.08676468323099e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.08676468323099e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.08676468323099e-05×40589641000000     		ar = 284047.533152667m²