Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36794 / 38342
↖ ↑ ↗
← S 29.257649°
E 22.115479°		 ← 532.87 m → S 29.257649°
E 22.120972°		 →
↑
532.87 m
↓
↑
532.87 m
↓
S 29.262441°
E 22.115479°		 ← 532.85 m →
283 944 m²		 S 29.262441°
E 22.120972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561439514160156 y=0.585060119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561439514160156 × 216)
    floor (0.561439514160156 × 65536)
    floor (36794.5)     		tx = 36794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585060119628906 × 216)
    floor (0.585060119628906 × 65536)
    floor (38342.5)     		ty = 38342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36794 / 38342 ti = "16/36794/38342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36794/38342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36794 ÷ 216
    36794 ÷ 65536     		x = 0.561431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38342 ÷ 216
    38342 ÷ 65536     		y = 0.585052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561431884765625 × 2 - 1) × π
    0.12286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38598792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.17010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.534400556964386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38598792} λ = 0.38598792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534400556964386))-π/2
    2×atan(0.586020470767818)-π/2
    2×0.53007701451447-π/2
    1.06015402902894-1.57079632675     		φ = -0.51064230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38598792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.115479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51064230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.257649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36794 KachelY 38342 0.38598792 -0.51064230 22.115479 -29.257649
    Oben rechts KachelX + 1 36795 KachelY 38342 0.38608379 -0.51064230 22.120972 -29.257649
    Unten links KachelX 36794 KachelY + 1 38343 0.38598792 -0.51072594 22.115479 -29.262441
    Unten rechts KachelX + 1 36795 KachelY + 1 38343 0.38608379 -0.51072594 22.120972 -29.262441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51064230--0.51072594) × R
    8.36400000000515e-05 × 6371000     		dl = 532.870440000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51064230--0.51072594) × R
    8.36400000000515e-05 × 6371000     		dr = 532.870440000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38598792-0.38608379) × cos(-0.51064230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872430771396581 × 6371000     		do = 532.870045340686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38598792-0.38608379) × cos(-0.51072594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872389890322959 × 6371000     		du = 532.845075680893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51064230)-sin(-0.51072594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872430771396581-0.872389890322959)×R²
    abs(0.38608379-0.38598792)×4.088107362199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.088107362199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.088107362199e-05×40589641000000     		ar = 283944.042892319m²