Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36794 / 38314
↖ ↑ ↗
← S 29.123373°
E 22.115479°		 ← 533.57 m → S 29.123373°
E 22.120972°		 →
↑
533.57 m
↓
↑
533.57 m
↓
S 29.128172°
E 22.115479°		 ← 533.54 m →
284 690 m²		 S 29.128172°
E 22.120972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561439514160156 y=0.584632873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561439514160156 × 216)
    floor (0.561439514160156 × 65536)
    floor (36794.5)     		tx = 36794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584632873535156 × 216)
    floor (0.584632873535156 × 65536)
    floor (38314.5)     		ty = 38314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36794 / 38314 ti = "16/36794/38314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36794/38314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36794 ÷ 216
    36794 ÷ 65536     		x = 0.561431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38314 ÷ 216
    38314 ÷ 65536     		y = 0.584625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561431884765625 × 2 - 1) × π
    0.12286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38598792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.16925048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531716090585663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38598792} λ = 0.38598792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531716090585663))-π/2
    2×atan(0.587595736446719)-π/2
    2×0.531248787496132-π/2
    1.06249757499226-1.57079632675     		φ = -0.50829875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38598792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.115479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50829875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.123373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36794 KachelY 38314 0.38598792 -0.50829875 22.115479 -29.123373
    Oben rechts KachelX + 1 36795 KachelY 38314 0.38608379 -0.50829875 22.120972 -29.123373
    Unten links KachelX 36794 KachelY + 1 38315 0.38598792 -0.50838250 22.115479 -29.128172
    Unten rechts KachelX + 1 36795 KachelY + 1 38315 0.38608379 -0.50838250 22.120972 -29.128172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50829875--0.50838250) × R
    8.3749999999938e-05 × 6371000     		dl = 533.571249999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50829875--0.50838250) × R
    8.3749999999938e-05 × 6371000     		dr = 533.571249999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38598792-0.38608379) × cos(-0.50829875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87357375581562 × 6371000     		do = 533.568166245135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38598792-0.38608379) × cos(-0.50838250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873532992315061 × 6371000     		du = 533.543268397531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50829875)-sin(-0.50838250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87357375581562-0.873532992315061)×R²
    abs(0.38608379-0.38598792)×4.07635005590379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07635005590379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07635005590379e-05×40589641000000     		ar = 284689.99120208m²