Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36793 / 38233
↖ ↑ ↗
← S 28.733947°
E 22.109985°		 ← 535.63 m → S 28.733947°
E 22.115479°		 →
↑
535.55 m
↓
↑
535.55 m
↓
S 28.738764°
E 22.109985°		 ← 535.61 m →
286 849 m²		 S 28.738764°
E 22.115479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561424255371094 y=0.583396911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561424255371094 × 216)
    floor (0.561424255371094 × 65536)
    floor (36793.5)     		tx = 36793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583396911621094 × 216)
    floor (0.583396911621094 × 65536)
    floor (38233.5)     		ty = 38233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36793 / 38233 ti = "16/36793/38233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36793/38233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36793 ÷ 216
    36793 ÷ 65536     		x = 0.561416625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38233 ÷ 216
    38233 ÷ 65536     		y = 0.583389282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561416625976562 × 2 - 1) × π
    0.122833251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38589204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583389282226562 × 2 - 1) × π
    -0.166778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.523950312847214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38589204} λ = 0.38589204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523950312847214))-π/2
    2×atan(0.592176638447618)-π/2
    2×0.534647169329111-π/2
    1.06929433865822-1.57079632675     		φ = -0.50150199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38589204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.109985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50150199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.733947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36793 KachelY 38233 0.38589204 -0.50150199 22.109985 -28.733947
    Oben rechts KachelX + 1 36794 KachelY 38233 0.38598792 -0.50150199 22.115479 -28.733947
    Unten links KachelX 36793 KachelY + 1 38234 0.38589204 -0.50158605 22.109985 -28.738764
    Unten rechts KachelX + 1 36794 KachelY + 1 38234 0.38598792 -0.50158605 22.115479 -28.738764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50150199--0.50158605) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dl = 535.546260000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50150199--0.50158605) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dr = 535.546260000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38589204-0.38598792) × cos(-0.50150199) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876861479894879 × 6371000     		do = 535.632132748736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38589204-0.38598792) × cos(-0.50158605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876821065530476 × 6371000     		du = 535.607445574427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50150199)-sin(-0.50158605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876861479894879-0.876821065530476)×R²
    abs(0.38598792-0.38589204)×4.04143644022747e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04143644022747e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04143644022747e-05×40589641000000     		ar = 286849.175036541m²