Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3679 / 2885
↖ ↑ ↗
← N 46.890232°
W 18.325195°		 ← 3 339.42 m → N 46.890232°
W 18.281250°		 →
↑
3 340.38 m
↓
↑
3 340.38 m
↓
N 46.860191°
W 18.325195°		 ← 3 341.29 m →
11 158 055 m²		 N 46.860191°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44915771484375 y=0.35223388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44915771484375 × 213)
    floor (0.44915771484375 × 8192)
    floor (3679.5)     		tx = 3679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35223388671875 × 213)
    floor (0.35223388671875 × 8192)
    floor (2885.5)     		ty = 2885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3679 / 2885 ti = "13/3679/2885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3679/2885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3679 ÷ 213
    3679 ÷ 8192     		x = 0.4490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2885 ÷ 213
    2885 ÷ 8192     		y = 0.3521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3521728515625 × 2 - 1) × π
    0.295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.928825367038208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31983499} λ = -0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928825367038208))-π/2
    2×atan(2.53153380742192)-π/2
    2×1.19459262737929-π/2
    2.38918525475857-1.57079632675     		φ = 0.81838893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81838893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.890232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3679 KachelY 2885 -0.31983499 0.81838893 -18.325195 46.890232
    Oben rechts KachelX + 1 3680 KachelY 2885 -0.31906800 0.81838893 -18.281250 46.890232
    Unten links KachelX 3679 KachelY + 1 2886 -0.31983499 0.81786462 -18.325195 46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 3680 KachelY + 1 2886 -0.31906800 0.81786462 -18.281250 46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81838893-0.81786462) × R
    0.000524309999999972 × 6371000     		dl = 3340.37900999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81838893-0.81786462) × R
    0.000524309999999972 × 6371000     		dr = 3340.37900999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31983499--0.31906800) × cos(0.81838893) × R
    0.000766989999999967 × 0.683398248521694 × 6371000     		do = 3339.42095579887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31983499--0.31906800) × cos(0.81786462) × R
    0.000766989999999967 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 3341.29090121269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81838893)-sin(0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683398248521694-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.31906800--0.31983499)×0.000382676349447997×R²
    0.000766989999999967×0.000382676349447997×6371000²
    0.000766989999999967×0.000382676349447997×40589641000000     		ar = 11158055.0851211m²