Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3679 / 2657
↖ ↑ ↗
← N 76.346711°
W 99.162597°		 ← 576.71 m → N 76.346711°
W 99.140625°		 →
↑
576.83 m
↓
↑
576.83 m
↓
N 76.341523°
W 99.162597°		 ← 576.93 m →
332 726 m²		 N 76.341523°
W 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224578857421875 y=0.162200927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224578857421875 × 214)
    floor (0.224578857421875 × 16384)
    floor (3679.5)     		tx = 3679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162200927734375 × 214)
    floor (0.162200927734375 × 16384)
    floor (2657.5)     		ty = 2657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3679 / 2657 ti = "14/3679/2657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3679/2657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3679 ÷ 214
    3679 ÷ 16384     		x = 0.22454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2657 ÷ 214
    2657 ÷ 16384     		y = 0.16217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.5509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73071382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16217041015625 × 2 - 1) × π
    0.6756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12264591517609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73071382} λ = -1.73071382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12264591517609))-π/2
    2×atan(8.35321015913128)-π/2
    2×1.45164890200076-π/2
    2.90329780400153-1.57079632675     		φ = 1.33250148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73071382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.162597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33250148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.346711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3679 KachelY 2657 -1.73071382 1.33250148 -99.162597 76.346711
    Oben rechts KachelX + 1 3680 KachelY 2657 -1.73033033 1.33250148 -99.140625 76.346711
    Unten links KachelX 3679 KachelY + 1 2658 -1.73071382 1.33241094 -99.162597 76.341523
    Unten rechts KachelX + 1 3680 KachelY + 1 2658 -1.73033033 1.33241094 -99.140625 76.341523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33250148-1.33241094) × R
    9.05399999999723e-05 × 6371000     		dl = 576.830339999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33250148-1.33241094) × R
    9.05399999999723e-05 × 6371000     		dr = 576.830339999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73071382--1.73033033) × cos(1.33250148) × R
    0.000383490000000153 × 0.236046001602947 × 6371000     		do = 576.711082236912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73071382--1.73033033) × cos(1.33241094) × R
    0.000383490000000153 × 0.236133982145325 × 6371000     		du = 576.926037599284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33250148)-sin(1.33241094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236046001602947-0.236133982145325)×R²
    abs(-1.73033033--1.73071382)×8.7980542378574e-05×R²
    0.000383490000000153×8.7980542378574e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.7980542378574e-05×40589641000000     		ar = 332726.446262544m²