Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3678 / 4378
↖ ↑ ↗
← N 78.573554°
W139.592285°		 ← 242.02 m → N 78.573554°
W139.581299°		 →
↑
242.03 m
↓
↑
242.03 m
↓
N 78.571378°
W139.592285°		 ← 242.06 m →
58 582 m²		 N 78.571378°
W139.581299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112258911132812 y=0.133621215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112258911132812 × 215)
    floor (0.112258911132812 × 32768)
    floor (3678.5)     		tx = 3678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133621215820312 × 215)
    floor (0.133621215820312 × 32768)
    floor (4378.5)     		ty = 4378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3678 / 4378 ti = "15/3678/4378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3678/4378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3678 ÷ 215
    3678 ÷ 32768     		x = 0.11224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4378 ÷ 215
    4378 ÷ 32768     		y = 0.13360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11224365234375 × 2 - 1) × π
    -0.7755126953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.43634499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13360595703125 × 2 - 1) × π
    0.7327880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30212166735358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43634499} λ = -2.43634499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30212166735358))-π/2
    2×atan(9.99536681724607)-π/2
    2×1.47108178015413-π/2
    2.94216356030825-1.57079632675     		φ = 1.37136723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43634499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.592285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37136723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.573554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3678 KachelY 4378 -2.43634499 1.37136723 -139.592285 78.573554
    Oben rechts KachelX + 1 3679 KachelY 4378 -2.43615324 1.37136723 -139.581299 78.573554
    Unten links KachelX 3678 KachelY + 1 4379 -2.43634499 1.37132924 -139.592285 78.571378
    Unten rechts KachelX + 1 3679 KachelY + 1 4379 -2.43615324 1.37132924 -139.581299 78.571378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37136723-1.37132924) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dl = 242.034290000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37136723-1.37132924) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dr = 242.034290000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43634499--2.43615324) × cos(1.37136723) × R
    0.000191749999999935 × 0.198109775298758 × 6371000     		do = 242.018677313561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43634499--2.43615324) × cos(1.37132924) × R
    0.000191749999999935 × 0.198147012187876 × 6371000     		du = 242.064167358855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37136723)-sin(1.37132924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198109775298758-0.198147012187876)×R²
    abs(-2.43615324--2.43634499)×3.72368891175812e-05×R²
    0.000191749999999935×3.72368891175812e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.72368891175812e-05×40589641000000     		ar = 58582.3238121519m²