Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3678 / 2491
↖ ↑ ↗
← N 57.444950°
W 18.369140°		 ← 2 629.47 m → N 57.444950°
W 18.325195°		 →
↑
2 630.33 m
↓
↑
2 630.33 m
↓
N 57.421295°
W 18.369140°		 ← 2 631.17 m →
6 918 611 m²		 N 57.421295°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44903564453125 y=0.30413818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44903564453125 × 213)
    floor (0.44903564453125 × 8192)
    floor (3678.5)     		tx = 3678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30413818359375 × 213)
    floor (0.30413818359375 × 8192)
    floor (2491.5)     		ty = 2491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3678 / 2491 ti = "13/3678/2491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3678/2491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3678 ÷ 213
    3678 ÷ 8192     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2491 ÷ 213
    2491 ÷ 8192     		y = 0.3040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3040771484375 × 2 - 1) × π
    0.391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23101958224304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23101958224304))-π/2
    2×atan(3.42471954004484)-π/2
    2×1.28669991653651-π/2
    2.57339983307303-1.57079632675     		φ = 1.00260351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00260351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.444950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3678 KachelY 2491 -0.32060198 1.00260351 -18.369140 57.444950
    Oben rechts KachelX + 1 3679 KachelY 2491 -0.31983499 1.00260351 -18.325195 57.444950
    Unten links KachelX 3678 KachelY + 1 2492 -0.32060198 1.00219065 -18.369140 57.421295
    Unten rechts KachelX + 1 3679 KachelY + 1 2492 -0.31983499 1.00219065 -18.325195 57.421295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00260351-1.00219065) × R
    0.000412859999999959 × 6371000     		dl = 2630.33105999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00260351-1.00219065) × R
    0.000412859999999959 × 6371000     		dr = 2630.33105999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.31983499) × cos(1.00260351) × R
    0.000766990000000023 × 0.538109699064541 × 6371000     		do = 2629.46943376288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.31983499) × cos(1.00219065) × R
    0.000766990000000023 × 0.538457642488981 × 6371000     		du = 2631.1696569717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00260351)-sin(1.00219065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538109699064541-0.538457642488981)×R²
    abs(-0.31983499--0.32060198)×0.000347943424440111×R²
    0.000766990000000023×0.000347943424440111×6371000²
    0.000766990000000023×0.000347943424440111×40589641000000     		ar = 6918611.29617746m²