Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36772 / 38050
↖ ↑ ↗
← S 27.848791°
E 21.994629°		 ← 540.10 m → S 27.848791°
E 22.000122°		 →
↑
540.01 m
↓
↑
540.01 m
↓
S 27.853647°
E 21.994629°		 ← 540.08 m →
291 653 m²		 S 27.853647°
E 22.000122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561103820800781 y=0.580604553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561103820800781 × 216)
    floor (0.561103820800781 × 65536)
    floor (36772.5)     		tx = 36772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580604553222656 × 216)
    floor (0.580604553222656 × 65536)
    floor (38050.5)     		ty = 38050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36772 / 38050 ti = "16/36772/38050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36772/38050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36772 ÷ 216
    36772 ÷ 65536     		x = 0.56109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38050 ÷ 216
    38050 ÷ 65536     		y = 0.580596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56109619140625 × 2 - 1) × π
    0.1221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38387869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.16119384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.506405407586273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38387869} λ = 0.38387869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506405407586273))-π/2
    2×atan(0.602657999847061)-π/2
    2×0.542371620292558-π/2
    1.08474324058512-1.57079632675     		φ = -0.48605309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38387869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.994629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48605309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.848791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36772 KachelY 38050 0.38387869 -0.48605309 21.994629 -27.848791
    Oben rechts KachelX + 1 36773 KachelY 38050 0.38397457 -0.48605309 22.000122 -27.848791
    Unten links KachelX 36772 KachelY + 1 38051 0.38387869 -0.48613785 21.994629 -27.853647
    Unten rechts KachelX + 1 36773 KachelY + 1 38051 0.38397457 -0.48613785 22.000122 -27.853647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48605309--0.48613785) × R
    8.47599999999615e-05 × 6371000     		dl = 540.005959999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48605309--0.48613785) × R
    8.47599999999615e-05 × 6371000     		dr = 540.005959999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38387869-0.38397457) × cos(-0.48605309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88418349928645 × 6371000     		do = 540.104799130666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38387869-0.38397457) × cos(-0.48613785) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884143901345771 × 6371000     		du = 540.080610669997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48605309)-sin(-0.48613785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88418349928645-0.884143901345771)×R²
    abs(0.38397457-0.38387869)×3.95979406793145e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.95979406793145e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.95979406793145e-05×40589641000000     		ar = 291653.279773095m²