Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3677 / 2750
↖ ↑ ↗
← N 75.855911°
W 99.206543°		 ← 597.03 m → N 75.855911°
W 99.184570°		 →
↑
597.15 m
↓
↑
597.15 m
↓
N 75.850541°
W 99.206543°		 ← 597.25 m →
356 583 m²		 N 75.850541°
W 99.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224456787109375 y=0.167877197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224456787109375 × 214)
    floor (0.224456787109375 × 16384)
    floor (3677.5)     		tx = 3677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167877197265625 × 214)
    floor (0.167877197265625 × 16384)
    floor (2750.5)     		ty = 2750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3677 / 2750 ti = "14/3677/2750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3677/2750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3677 ÷ 214
    3677 ÷ 16384     		x = 0.22442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2750 ÷ 214
    2750 ÷ 16384     		y = 0.1678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.5511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.73148081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1678466796875 × 2 - 1) × π
    0.664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08698086185876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73148081} λ = -1.73148081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08698086185876))-π/2
    2×atan(8.06054249929858)-π/2
    2×1.44736586599245-π/2
    2.89473173198489-1.57079632675     		φ = 1.32393541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73148081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32393541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.855911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3677 KachelY 2750 -1.73148081 1.32393541 -99.206543 75.855911
    Oben rechts KachelX + 1 3678 KachelY 2750 -1.73109732 1.32393541 -99.184570 75.855911
    Unten links KachelX 3677 KachelY + 1 2751 -1.73148081 1.32384168 -99.206543 75.850541
    Unten rechts KachelX + 1 3678 KachelY + 1 2751 -1.73109732 1.32384168 -99.184570 75.850541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32393541-1.32384168) × R
    9.37300000001251e-05 × 6371000     		dl = 597.153830000797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32393541-1.32384168) × R
    9.37300000001251e-05 × 6371000     		dr = 597.153830000797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73148081--1.73109732) × cos(1.32393541) × R
    0.000383490000000153 × 0.244361248600454 × 6371000     		do = 597.027016683734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73148081--1.73109732) × cos(1.32384168) × R
    0.000383490000000153 × 0.244452136033393 × 6371000     		du = 597.249074204117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32393541)-sin(1.32384168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244361248600454-0.244452136033393)×R²
    abs(-1.73109732--1.73148081)×9.08874329394738e-05×R²
    0.000383490000000153×9.08874329394738e-05×6371000²
    0.000383490000000153×9.08874329394738e-05×40589641000000     		ar = 356583.271136563m²