Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3677 / 2749
↖ ↑ ↗
← N 75.861279°
W 99.206543°		 ← 596.81 m → N 75.861279°
W 99.184570°		 →
↑
596.90 m
↓
↑
596.90 m
↓
N 75.855911°
W 99.206543°		 ← 597.03 m →
356 299 m²		 N 75.855911°
W 99.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224456787109375 y=0.167816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224456787109375 × 214)
    floor (0.224456787109375 × 16384)
    floor (3677.5)     		tx = 3677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167816162109375 × 214)
    floor (0.167816162109375 × 16384)
    floor (2749.5)     		ty = 2749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3677 / 2749 ti = "14/3677/2749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3677/2749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3677 ÷ 214
    3677 ÷ 16384     		x = 0.22442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2749 ÷ 214
    2749 ÷ 16384     		y = 0.16778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.5511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.73148081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16778564453125 × 2 - 1) × π
    0.6644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08736435705572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73148081} λ = -1.73148081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08736435705572))-π/2
    2×atan(8.06363427143395)-π/2
    2×1.44741271296484-π/2
    2.89482542592968-1.57079632675     		φ = 1.32402910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73148081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32402910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.861279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3677 KachelY 2749 -1.73148081 1.32402910 -99.206543 75.861279
    Oben rechts KachelX + 1 3678 KachelY 2749 -1.73109732 1.32402910 -99.184570 75.861279
    Unten links KachelX 3677 KachelY + 1 2750 -1.73148081 1.32393541 -99.206543 75.855911
    Unten rechts KachelX + 1 3678 KachelY + 1 2750 -1.73109732 1.32393541 -99.184570 75.855911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32402910-1.32393541) × R
    9.36899999999241e-05 × 6371000     		dl = 596.898989999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32402910-1.32393541) × R
    9.36899999999241e-05 × 6371000     		dr = 596.898989999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73148081--1.73109732) × cos(1.32402910) × R
    0.000383490000000153 × 0.244270397809011 × 6371000     		do = 596.805048686397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73148081--1.73109732) × cos(1.32393541) × R
    0.000383490000000153 × 0.244361248600454 × 6371000     		du = 597.027016683734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32402910)-sin(1.32393541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244270397809011-0.244361248600454)×R²
    abs(-1.73109732--1.73148081)×9.08507914428036e-05×R²
    0.000383490000000153×9.08507914428036e-05×6371000²
    0.000383490000000153×9.08507914428036e-05×40589641000000     		ar = 356298.577284178m²