Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3677 / 2492
↖ ↑ ↗
← N 57.421295°
W 18.413086°		 ← 2 631.20 m → N 57.421295°
W 18.369140°		 →
↑
2 632.05 m
↓
↑
2 632.05 m
↓
N 57.397624°
W 18.413086°		 ← 2 632.90 m →
6 927 702 m²		 N 57.397624°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44891357421875 y=0.30426025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44891357421875 × 213)
    floor (0.44891357421875 × 8192)
    floor (3677.5)     		tx = 3677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30426025390625 × 213)
    floor (0.30426025390625 × 8192)
    floor (2492.5)     		ty = 2492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3677 / 2492 ti = "13/3677/2492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3677/2492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3677 ÷ 213
    3677 ÷ 8192     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2492 ÷ 213
    2492 ÷ 8192     		y = 0.30419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23025259184912))-π/2
    2×atan(3.42209382013545)-π/2
    2×1.28649348733748-π/2
    2.57298697467496-1.57079632675     		φ = 1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3677 KachelY 2492 -0.32136898 1.00219065 -18.413086 57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 3678 KachelY 2492 -0.32060198 1.00219065 -18.369140 57.421295
    Unten links KachelX 3677 KachelY + 1 2493 -0.32136898 1.00177752 -18.413086 57.397624
    Unten rechts KachelX + 1 3678 KachelY + 1 2493 -0.32060198 1.00177752 -18.369140 57.397624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00219065-1.00177752) × R
    0.000413129999999873 × 6371000     		dl = 2632.05122999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00219065-1.00177752) × R
    0.000413129999999873 × 6371000     		dr = 2632.05122999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32060198) × cos(1.00219065) × R
    0.000767000000000018 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 2631.20396210809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32060198) × cos(1.00177752) × R
    0.000767000000000018 × 0.538805721587631 × 6371000     		du = 2632.90487046415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00219065)-sin(1.00177752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.538805721587631)×R²
    abs(-0.32060198--0.32136898)×0.000348079098650311×R²
    0.000767000000000018×0.000348079098650311×6371000²
    0.000767000000000018×0.000348079098650311×40589641000000     		ar = 6927702.16234493m²