Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3677 / 2364
↖ ↑ ↗
← N 60.326948°
W 18.413086°		 ← 2 419.09 m → N 60.326948°
W 18.369140°		 →
↑
2 419.90 m
↓
↑
2 419.90 m
↓
N 60.305185°
W 18.413086°		 ← 2 420.70 m →
5 855 900 m²		 N 60.305185°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44891357421875 y=0.28863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44891357421875 × 213)
    floor (0.44891357421875 × 8192)
    floor (3677.5)     		tx = 3677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28863525390625 × 213)
    floor (0.28863525390625 × 8192)
    floor (2364.5)     		ty = 2364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3677 / 2364 ti = "13/3677/2364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3677/2364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3677 ÷ 213
    3677 ÷ 8192     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2364 ÷ 213
    2364 ÷ 8192     		y = 0.28857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28857421875 × 2 - 1) × π
    0.4228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.328427362271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.328427362271))-π/2
    2×atan(3.7751018492507)-π/2
    2×1.31185009628499-π/2
    2.62370019256998-1.57079632675     		φ = 1.05290387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05290387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.326948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3677 KachelY 2364 -0.32136898 1.05290387 -18.413086 60.326948
    Oben rechts KachelX + 1 3678 KachelY 2364 -0.32060198 1.05290387 -18.369140 60.326948
    Unten links KachelX 3677 KachelY + 1 2365 -0.32136898 1.05252404 -18.413086 60.305185
    Unten rechts KachelX + 1 3678 KachelY + 1 2365 -0.32060198 1.05252404 -18.369140 60.305185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05290387-1.05252404) × R
    0.00037982999999997 × 6371000     		dl = 2419.89692999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05290387-1.05252404) × R
    0.00037982999999997 × 6371000     		dr = 2419.89692999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32060198) × cos(1.05290387) × R
    0.000767000000000018 × 0.495050069276937 × 6371000     		do = 2419.09038137576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32060198) × cos(1.05252404) × R
    0.000767000000000018 × 0.495380054341625 × 6371000     		du = 2420.7028722035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05290387)-sin(1.05252404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495050069276937-0.495380054341625)×R²
    abs(-0.32060198--0.32136898)×0.000329985064687399×R²
    0.000767000000000018×0.000329985064687399×6371000²
    0.000767000000000018×0.000329985064687399×40589641000000     		ar = 5855900.48848964m²