Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3677 / 1944
↖ ↑ ↗
← N 68.269387°
W 18.413086°		 ← 1 809.21 m → N 68.269387°
W 18.369140°		 →
↑
1 809.87 m
↓
↑
1 809.87 m
↓
N 68.253110°
W 18.413086°		 ← 1 810.50 m →
3 275 616 m²		 N 68.253110°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44891357421875 y=0.23736572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44891357421875 × 213)
    floor (0.44891357421875 × 8192)
    floor (3677.5)     		tx = 3677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23736572265625 × 213)
    floor (0.23736572265625 × 8192)
    floor (1944.5)     		ty = 1944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3677 / 1944 ti = "13/3677/1944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3677/1944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3677 ÷ 213
    3677 ÷ 8192     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1944 ÷ 213
    1944 ÷ 8192     		y = 0.2373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2373046875 × 2 - 1) × π
    0.525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65056332771777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65056332771777))-π/2
    2×atan(5.20991388958413)-π/2
    2×1.38116095241734-π/2
    2.76232190483467-1.57079632675     		φ = 1.19152558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19152558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.269387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3677 KachelY 1944 -0.32136898 1.19152558 -18.413086 68.269387
    Oben rechts KachelX + 1 3678 KachelY 1944 -0.32060198 1.19152558 -18.369140 68.269387
    Unten links KachelX 3677 KachelY + 1 1945 -0.32136898 1.19124150 -18.413086 68.253110
    Unten rechts KachelX + 1 3678 KachelY + 1 1945 -0.32060198 1.19124150 -18.369140 68.253110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19152558-1.19124150) × R
    0.000284079999999909 × 6371000     		dl = 1809.87367999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19152558-1.19124150) × R
    0.000284079999999909 × 6371000     		dr = 1809.87367999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32060198) × cos(1.19152558) × R
    0.000767000000000018 × 0.370243139181402 × 6371000     		do = 1809.21420346889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32060198) × cos(1.19124150) × R
    0.000767000000000018 × 0.370507016059995 × 6371000     		du = 1810.50365287712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19152558)-sin(1.19124150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370243139181402-0.370507016059995)×R²
    abs(-0.32060198--0.32136898)×0.000263876878593083×R²
    0.000767000000000018×0.000263876878593083×6371000²
    0.000767000000000018×0.000263876878593083×40589641000000     		ar = 3275616.06064126m²