Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36768 / 39264
↖ ↑ ↗
← S 33.578015°
E 21.972656°		 ← 508.87 m → S 33.578015°
E 21.978149°		 →
↑
508.92 m
↓
↑
508.92 m
↓
S 33.582591°
E 21.972656°		 ← 508.84 m →
258 964 m²		 S 33.582591°
E 21.978149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561042785644531 y=0.599128723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561042785644531 × 216)
    floor (0.561042785644531 × 65536)
    floor (36768.5)     		tx = 36768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599128723144531 × 216)
    floor (0.599128723144531 × 65536)
    floor (39264.5)     		ty = 39264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36768 / 39264 ti = "16/36768/39264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36768/39264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36768 ÷ 216
    36768 ÷ 65536     		x = 0.56103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39264 ÷ 216
    39264 ÷ 65536     		y = 0.59912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56103515625 × 2 - 1) × π
    0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62279619986377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38349520} λ = 0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62279619986377))-π/2
    2×atan(0.536442338494915)-π/2
    2×0.492374706603153-π/2
    0.984749413206306-1.57079632675     		φ = -0.58604691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58604691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.578015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36768 KachelY 39264 0.38349520 -0.58604691 21.972656 -33.578015
    Oben rechts KachelX + 1 36769 KachelY 39264 0.38359107 -0.58604691 21.978149 -33.578015
    Unten links KachelX 36768 KachelY + 1 39265 0.38349520 -0.58612679 21.972656 -33.582591
    Unten rechts KachelX + 1 36769 KachelY + 1 39265 0.38359107 -0.58612679 21.978149 -33.582591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58604691--0.58612679) × R
    7.98800000000321e-05 × 6371000     		dl = 508.915480000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58604691--0.58612679) × R
    7.98800000000321e-05 × 6371000     		dr = 508.915480000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38349520-0.38359107) × cos(-0.58604691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833133526054537 × 6371000     		do = 508.867768491077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38349520-0.38359107) × cos(-0.58612679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833089344013091 × 6371000     		du = 508.840782640508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58604691)-sin(-0.58612679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833133526054537-0.833089344013091)×R²
    abs(0.38359107-0.38349520)×4.41820414464056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41820414464056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41820414464056e-05×40589641000000     		ar = 258963.818037169m²