Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36764 / 38284
↖ ↑ ↗
← S 28.979312°
E 21.950683°		 ← 534.37 m → S 28.979312°
E 21.956177°		 →
↑
534.34 m
↓
↑
534.34 m
↓
S 28.984117°
E 21.950683°		 ← 534.34 m →
285 526 m²		 S 28.984117°
E 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560981750488281 y=0.584175109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560981750488281 × 216)
    floor (0.560981750488281 × 65536)
    floor (36764.5)     		tx = 36764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584175109863281 × 216)
    floor (0.584175109863281 × 65536)
    floor (38284.5)     		ty = 38284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36764 / 38284 ti = "16/36764/38284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36764/38284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36764 ÷ 216
    36764 ÷ 65536     		x = 0.56097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38284 ÷ 216
    38284 ÷ 65536     		y = 0.58416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56097412109375 × 2 - 1) × π
    0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.528839876608459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38311170} λ = 0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528839876608459))-π/2
    2×atan(0.589288220322952)-π/2
    2×0.532505958402244-π/2
    1.06501191680449-1.57079632675     		φ = -0.50578441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50578441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.979312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36764 KachelY 38284 0.38311170 -0.50578441 21.950683 -28.979312
    Oben rechts KachelX + 1 36765 KachelY 38284 0.38320758 -0.50578441 21.956177 -28.979312
    Unten links KachelX 36764 KachelY + 1 38285 0.38311170 -0.50586828 21.950683 -28.984117
    Unten rechts KachelX + 1 36765 KachelY + 1 38285 0.38320758 -0.50586828 21.956177 -28.984117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50578441--0.50586828) × R
    8.38699999999859e-05 × 6371000     		dl = 534.33576999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50578441--0.50586828) × R
    8.38699999999859e-05 × 6371000     		dr = 534.33576999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38311170-0.38320758) × cos(-0.50578441) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874794701823858 × 6371000     		do = 534.369638305221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38311170-0.38320758) × cos(-0.50586828) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874754064253258 × 6371000     		du = 534.344814785077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50578441)-sin(-0.50586828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874794701823858-0.874754064253258)×R²
    abs(0.38320758-0.38311170)×4.06375706000217e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.06375706000217e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.06375706000217e-05×40589641000000     		ar = 285526.180268549m²