Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36760 / 38280
↖ ↑ ↗
← S 28.960089°
E 21.928711°		 ← 534.41 m → S 28.960089°
E 21.934204°		 →
↑
534.40 m
↓
↑
534.40 m
↓
S 28.964895°
E 21.928711°		 ← 534.39 m →
285 583 m²		 S 28.964895°
E 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560920715332031 y=0.584114074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560920715332031 × 216)
    floor (0.560920715332031 × 65536)
    floor (36760.5)     		tx = 36760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584114074707031 × 216)
    floor (0.584114074707031 × 65536)
    floor (38280.5)     		ty = 38280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36760 / 38280 ti = "16/36760/38280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36760/38280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36760 ÷ 216
    36760 ÷ 65536     		x = 0.5609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38280 ÷ 216
    38280 ÷ 65536     		y = 0.5841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5609130859375 × 2 - 1) × π
    0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.528456381411499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38272821} λ = 0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528456381411499))-π/2
    2×atan(0.589514252863498)-π/2
    2×0.532673713766414-π/2
    1.06534742753283-1.57079632675     		φ = -0.50544890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50544890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.960089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36760 KachelY 38280 0.38272821 -0.50544890 21.928711 -28.960089
    Oben rechts KachelX + 1 36761 KachelY 38280 0.38282408 -0.50544890 21.934204 -28.960089
    Unten links KachelX 36760 KachelY + 1 38281 0.38272821 -0.50553278 21.928711 -28.964895
    Unten rechts KachelX + 1 36761 KachelY + 1 38281 0.38282408 -0.50553278 21.934204 -28.964895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50544890--0.50553278) × R
    8.38800000000361e-05 × 6371000     		dl = 534.39948000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50544890--0.50553278) × R
    8.38800000000361e-05 × 6371000     		dr = 534.39948000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38272821-0.38282408) × cos(-0.50544890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874957205094802 × 6371000     		do = 534.413160145275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38272821-0.38282408) × cos(-0.50553278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874916587299224 × 6371000     		du = 534.388351292492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50544890)-sin(-0.50553278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874957205094802-0.874916587299224)×R²
    abs(0.38282408-0.38272821)×4.06177955776243e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06177955776243e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06177955776243e-05×40589641000000     		ar = 285583.486135166m²