Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36755 / 38044
↖ ↑ ↗
← S 27.819645°
E 21.901245°		 ← 540.19 m → S 27.819645°
E 21.906738°		 →
↑
540.20 m
↓
↑
540.20 m
↓
S 27.824503°
E 21.901245°		 ← 540.17 m →
291 804 m²		 S 27.824503°
E 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560844421386719 y=0.580513000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560844421386719 × 216)
    floor (0.560844421386719 × 65536)
    floor (36755.5)     		tx = 36755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580513000488281 × 216)
    floor (0.580513000488281 × 65536)
    floor (38044.5)     		ty = 38044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36755 / 38044 ti = "16/36755/38044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36755/38044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36755 ÷ 216
    36755 ÷ 65536     		x = 0.560836791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38044 ÷ 216
    38044 ÷ 65536     		y = 0.58050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560836791992188 × 2 - 1) × π
    0.121673583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38224884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.1610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.505830164790833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38224884} λ = 0.38224884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505830164790833))-π/2
    2×atan(0.603004774249764)-π/2
    2×0.542625964548013-π/2
    1.08525192909603-1.57079632675     		φ = -0.48554440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38224884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.901245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48554440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.819645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36755 KachelY 38044 0.38224884 -0.48554440 21.901245 -27.819645
    Oben rechts KachelX + 1 36756 KachelY 38044 0.38234471 -0.48554440 21.906738 -27.819645
    Unten links KachelX 36755 KachelY + 1 38045 0.38224884 -0.48562919 21.901245 -27.824503
    Unten rechts KachelX + 1 36756 KachelY + 1 38045 0.38234471 -0.48562919 21.906738 -27.824503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48554440--0.48562919) × R
    8.47900000000013e-05 × 6371000     		dl = 540.197090000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48554440--0.48562919) × R
    8.47900000000013e-05 × 6371000     		dr = 540.197090000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38224884-0.38234471) × cos(-0.48554440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884421014194026 × 6371000     		do = 540.193539000695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38224884-0.38234471) × cos(-0.48562919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884381440377622 × 6371000     		du = 540.169367797624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48554440)-sin(-0.48562919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884421014194026-0.884381440377622)×R²
    abs(0.38234471-0.38224884)×3.95738164030712e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95738164030712e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95738164030712e-05×40589641000000     		ar = 291804.449372837m²