Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36750 / 38313
↖ ↑ ↗
← S 29.118575°
E 21.873779°		 ← 533.59 m → S 29.118575°
E 21.879272°		 →
↑
533.57 m
↓
↑
533.57 m
↓
S 29.123373°
E 21.873779°		 ← 533.57 m →
284 703 m²		 S 29.123373°
E 21.879272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560768127441406 y=0.584617614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560768127441406 × 216)
    floor (0.560768127441406 × 65536)
    floor (36750.5)     		tx = 36750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584617614746094 × 216)
    floor (0.584617614746094 × 65536)
    floor (38313.5)     		ty = 38313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36750 / 38313 ti = "16/36750/38313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36750/38313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36750 ÷ 216
    36750 ÷ 65536     		x = 0.560760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38313 ÷ 216
    38313 ÷ 65536     		y = 0.584609985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560760498046875 × 2 - 1) × π
    0.12152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38176947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584609985351562 × 2 - 1) × π
    -0.169219970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531620216786423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38176947} λ = 0.38176947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531620216786423))-π/2
    2×atan(0.587652074183003)-π/2
    2×0.531290664890497-π/2
    1.06258132978099-1.57079632675     		φ = -0.50821500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38176947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.873779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50821500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.118575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36750 KachelY 38313 0.38176947 -0.50821500 21.873779 -29.118575
    Oben rechts KachelX + 1 36751 KachelY 38313 0.38186534 -0.50821500 21.879272 -29.118575
    Unten links KachelX 36750 KachelY + 1 38314 0.38176947 -0.50829875 21.873779 -29.123373
    Unten rechts KachelX + 1 36751 KachelY + 1 38314 0.38186534 -0.50829875 21.879272 -29.123373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50821500--0.50829875) × R
    8.37500000000491e-05 × 6371000     		dl = 533.571250000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50821500--0.50829875) × R
    8.37500000000491e-05 × 6371000     		dr = 533.571250000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38176947-0.38186534) × cos(-0.50821500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873614513188878 × 6371000     		do = 533.593060350259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38176947-0.38186534) × cos(-0.50829875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87357375581562 × 6371000     		du = 533.568166245135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50821500)-sin(-0.50829875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873614513188878-0.87357375581562)×R²
    abs(0.38186534-0.38176947)×4.0757373258149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0757373258149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0757373258149e-05×40589641000000     		ar = 284703.274979603m²