Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3675 / 2739
↖ ↑ ↗
← N 75.914852°
W 99.250488°		 ← 594.59 m → N 75.914852°
W 99.228516°		 →
↑
594.67 m
↓
↑
594.67 m
↓
N 75.909504°
W 99.250488°		 ← 594.81 m →
353 650 m²		 N 75.909504°
W 99.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224334716796875 y=0.167205810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224334716796875 × 214)
    floor (0.224334716796875 × 16384)
    floor (3675.5)     		tx = 3675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167205810546875 × 214)
    floor (0.167205810546875 × 16384)
    floor (2739.5)     		ty = 2739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3675 / 2739 ti = "14/3675/2739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3675/2739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3675 ÷ 214
    3675 ÷ 16384     		x = 0.22430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2739 ÷ 214
    2739 ÷ 16384     		y = 0.16717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73224780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16717529296875 × 2 - 1) × π
    0.6656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09119930902533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73224780} λ = -1.73224780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09119930902533))-π/2
    2×atan(8.09461729279285)-π/2
    2×1.44788022569237-π/2
    2.89576045138474-1.57079632675     		φ = 1.32496412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73224780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32496412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.914852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3675 KachelY 2739 -1.73224780 1.32496412 -99.250488 75.914852
    Oben rechts KachelX + 1 3676 KachelY 2739 -1.73186431 1.32496412 -99.228516 75.914852
    Unten links KachelX 3675 KachelY + 1 2740 -1.73224780 1.32487078 -99.250488 75.909504
    Unten rechts KachelX + 1 3676 KachelY + 1 2740 -1.73186431 1.32487078 -99.228516 75.909504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32496412-1.32487078) × R
    9.33400000000528e-05 × 6371000     		dl = 594.669140000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32496412-1.32487078) × R
    9.33400000000528e-05 × 6371000     		dr = 594.669140000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73224780--1.73186431) × cos(1.32496412) × R
    0.000383489999999931 × 0.243363595575818 × 6371000     		do = 594.58953605831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73224780--1.73186431) × cos(1.32487078) × R
    0.000383489999999931 × 0.243454128260775 × 6371000     		du = 594.810726853176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32496412)-sin(1.32487078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243363595575818-0.243454128260775)×R²
    abs(-1.73186431--1.73224780)×9.05326849572896e-05×R²
    0.000383489999999931×9.05326849572896e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.05326849572896e-05×40589641000000     		ar = 353649.81598852m²