Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36749 / 38302
↖ ↑ ↗
← S 29.065773°
E 21.868286°		 ← 533.92 m → S 29.065773°
E 21.873779°		 →
↑
533.83 m
↓
↑
533.83 m
↓
S 29.070574°
E 21.868286°		 ← 533.90 m →
285 015 m²		 S 29.070574°
E 21.873779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560752868652344 y=0.584449768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560752868652344 × 216)
    floor (0.560752868652344 × 65536)
    floor (36749.5)     		tx = 36749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584449768066406 × 216)
    floor (0.584449768066406 × 65536)
    floor (38302.5)     		ty = 38302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36749 / 38302 ti = "16/36749/38302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36749/38302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36749 ÷ 216
    36749 ÷ 65536     		x = 0.560745239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38302 ÷ 216
    38302 ÷ 65536     		y = 0.584442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560745239257812 × 2 - 1) × π
    0.121490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38167359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.16888427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.530565604994781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38167359} λ = 0.38167359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530565604994781))-π/2
    2×atan(0.58827214589982)-π/2
    2×0.5317514451342-π/2
    1.0635028902684-1.57079632675     		φ = -0.50729344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38167359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.868286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50729344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.065773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36749 KachelY 38302 0.38167359 -0.50729344 21.868286 -29.065773
    Oben rechts KachelX + 1 36750 KachelY 38302 0.38176947 -0.50729344 21.873779 -29.065773
    Unten links KachelX 36749 KachelY + 1 38303 0.38167359 -0.50737723 21.868286 -29.070574
    Unten rechts KachelX + 1 36750 KachelY + 1 38303 0.38176947 -0.50737723 21.873779 -29.070574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50729344--0.50737723) × R
    8.3790000000028e-05 × 6371000     		dl = 533.826090000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50729344--0.50737723) × R
    8.3790000000028e-05 × 6371000     		dr = 533.826090000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38167359-0.38176947) × cos(-0.50729344) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8740625904133 × 6371000     		do = 533.922426966557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38167359-0.38176947) × cos(-0.50737723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874021881046441 × 6371000     		du = 533.897559589561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50729344)-sin(-0.50737723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8740625904133-0.874021881046441)×R²
    abs(0.38176947-0.38167359)×4.07093668591818e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.07093668591818e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.07093668591818e-05×40589641000000     		ar = 285015.084290429m²