Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36748 / 38319
↖ ↑ ↗
← S 29.147364°
E 21.862793°		 ← 533.44 m → S 29.147364°
E 21.868286°		 →
↑
533.44 m
↓
↑
533.44 m
↓
S 29.152161°
E 21.862793°		 ← 533.42 m →
284 556 m²		 S 29.152161°
E 21.868286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560737609863281 y=0.584709167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560737609863281 × 216)
    floor (0.560737609863281 × 65536)
    floor (36748.5)     		tx = 36748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584709167480469 × 216)
    floor (0.584709167480469 × 65536)
    floor (38319.5)     		ty = 38319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36748 / 38319 ti = "16/36748/38319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36748/38319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36748 ÷ 216
    36748 ÷ 65536     		x = 0.56072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38319 ÷ 216
    38319 ÷ 65536     		y = 0.584701538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56072998046875 × 2 - 1) × π
    0.1214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38157772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584701538085938 × 2 - 1) × π
    -0.169403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.532195459581863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38157772} λ = 0.38157772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532195459581863))-π/2
    2×atan(0.587314128770754)-π/2
    2×0.531039429838284-π/2
    1.06207885967657-1.57079632675     		φ = -0.50871747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38157772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50871747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.147364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36748 KachelY 38319 0.38157772 -0.50871747 21.862793 -29.147364
    Oben rechts KachelX + 1 36749 KachelY 38319 0.38167359 -0.50871747 21.868286 -29.147364
    Unten links KachelX 36748 KachelY + 1 38320 0.38157772 -0.50880120 21.862793 -29.152161
    Unten rechts KachelX + 1 36749 KachelY + 1 38320 0.38167359 -0.50880120 21.868286 -29.152161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50871747--0.50880120) × R
    8.37299999999486e-05 × 6371000     		dl = 533.443829999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50871747--0.50880120) × R
    8.37299999999486e-05 × 6371000     		dr = 533.443829999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38157772-0.38167359) × cos(-0.50871747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873369891657261 × 6371000     		do = 533.443648510468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38157772-0.38167359) × cos(-0.50880120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873329107269294 × 6371000     		du = 533.418737905091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50871747)-sin(-0.50880120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873369891657261-0.873329107269294)×R²
    abs(0.38167359-0.38157772)×4.07843879665082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07843879665082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07843879665082e-05×40589641000000     		ar = 284555.578912379m²