Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36746 / 38290
↖ ↑ ↗
← S 29.008140°
E 21.851806°		 ← 534.22 m → S 29.008140°
E 21.857300°		 →
↑
534.14 m
↓
↑
534.14 m
↓
S 29.012944°
E 21.851806°		 ← 534.20 m →
285 344 m²		 S 29.012944°
E 21.857300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560707092285156 y=0.584266662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560707092285156 × 216)
    floor (0.560707092285156 × 65536)
    floor (36746.5)     		tx = 36746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584266662597656 × 216)
    floor (0.584266662597656 × 65536)
    floor (38290.5)     		ty = 38290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36746 / 38290 ti = "16/36746/38290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36746/38290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36746 ÷ 216
    36746 ÷ 65536     		x = 0.560699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38290 ÷ 216
    38290 ÷ 65536     		y = 0.584259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560699462890625 × 2 - 1) × π
    0.12139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38138597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584259033203125 × 2 - 1) × π
    -0.16851806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.5294151194039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38138597} λ = 0.38138597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5294151194039))-π/2
    2×atan(0.588949334000076)-π/2
    2×0.532254383796749-π/2
    1.0645087675935-1.57079632675     		φ = -0.50628756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38138597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.851806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50628756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.008140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36746 KachelY 38290 0.38138597 -0.50628756 21.851806 -29.008140
    Oben rechts KachelX + 1 36747 KachelY 38290 0.38148185 -0.50628756 21.857300 -29.008140
    Unten links KachelX 36746 KachelY + 1 38291 0.38138597 -0.50637140 21.851806 -29.012944
    Unten rechts KachelX + 1 36747 KachelY + 1 38291 0.38148185 -0.50637140 21.857300 -29.012944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50628756--0.50637140) × R
    8.38400000000572e-05 × 6371000     		dl = 534.144640000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50628756--0.50637140) × R
    8.38400000000572e-05 × 6371000     		dr = 534.144640000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38138597-0.38148185) × cos(-0.50628756) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874550818053727 × 6371000     		do = 534.220661543289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38138597-0.38148185) × cos(-0.50637140) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874510158123718 × 6371000     		du = 534.195824364866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50628756)-sin(-0.50637140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874550818053727-0.874510158123718)×R²
    abs(0.38148185-0.38138597)×4.06599300090127e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.06599300090127e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.06599300090127e-05×40589641000000     		ar = 285344.469784977m²