Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36743 / 38309
↖ ↑ ↗
← S 29.099377°
E 21.835327°		 ← 533.75 m → S 29.099377°
E 21.840821°		 →
↑
533.70 m
↓
↑
533.70 m
↓
S 29.104177°
E 21.835327°		 ← 533.72 m →
284 854 m²		 S 29.104177°
E 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560661315917969 y=0.584556579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560661315917969 × 216)
    floor (0.560661315917969 × 65536)
    floor (36743.5)     		tx = 36743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584556579589844 × 216)
    floor (0.584556579589844 × 65536)
    floor (38309.5)     		ty = 38309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36743 / 38309 ti = "16/36743/38309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36743/38309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36743 ÷ 216
    36743 ÷ 65536     		x = 0.560653686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38309 ÷ 216
    38309 ÷ 65536     		y = 0.584548950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560653686523438 × 2 - 1) × π
    0.121307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38109835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584548950195312 × 2 - 1) × π
    -0.169097900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.531236721589462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38109835} λ = 0.38109835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531236721589462))-π/2
    2×atan(0.587877479149035)-π/2
    2×0.531458194003856-π/2
    1.06291638800771-1.57079632675     		φ = -0.50787994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38109835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.835327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50787994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.099377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36743 KachelY 38309 0.38109835 -0.50787994 21.835327 -29.099377
    Oben rechts KachelX + 1 36744 KachelY 38309 0.38119423 -0.50787994 21.840821 -29.099377
    Unten links KachelX 36743 KachelY + 1 38310 0.38109835 -0.50796371 21.835327 -29.104177
    Unten rechts KachelX + 1 36744 KachelY + 1 38310 0.38119423 -0.50796371 21.840821 -29.104177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50787994--0.50796371) × R
    8.37699999999275e-05 × 6371000     		dl = 533.698669999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50787994--0.50796371) × R
    8.37699999999275e-05 × 6371000     		dr = 533.698669999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38109835-0.38119423) × cos(-0.50787994) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.873777510582739 × 6371000     		do = 533.74828553045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38109835-0.38119423) × cos(-0.50796371) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.873736767997952 × 6371000     		du = 533.723397862234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50787994)-sin(-0.50796371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873777510582739-0.873736767997952)×R²
    abs(0.38119423-0.38109835)×4.07425847868126e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.07425847868126e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.07425847868126e-05×40589641000000     		ar = 284854.109010916m²