Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36743 / 38287
↖ ↑ ↗
← S 28.993727°
E 21.835327°		 ← 534.30 m → S 28.993727°
E 21.840821°		 →
↑
534.27 m
↓
↑
534.27 m
↓
S 28.998532°
E 21.835327°		 ← 534.27 m →
285 452 m²		 S 28.998532°
E 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560661315917969 y=0.584220886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560661315917969 × 216)
    floor (0.560661315917969 × 65536)
    floor (36743.5)     		tx = 36743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584220886230469 × 216)
    floor (0.584220886230469 × 65536)
    floor (38287.5)     		ty = 38287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36743 / 38287 ti = "16/36743/38287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36743/38287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36743 ÷ 216
    36743 ÷ 65536     		x = 0.560653686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38287 ÷ 216
    38287 ÷ 65536     		y = 0.584213256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560653686523438 × 2 - 1) × π
    0.121307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38109835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584213256835938 × 2 - 1) × π
    -0.168426513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.52912749800618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38109835} λ = 0.38109835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52912749800618))-π/2
    2×atan(0.589118752793775)-π/2
    2×0.532380162331236-π/2
    1.06476032466247-1.57079632675     		φ = -0.50603600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38109835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.835327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50603600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.993727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36743 KachelY 38287 0.38109835 -0.50603600 21.835327 -28.993727
    Oben rechts KachelX + 1 36744 KachelY 38287 0.38119423 -0.50603600 21.840821 -28.993727
    Unten links KachelX 36743 KachelY + 1 38288 0.38109835 -0.50611986 21.835327 -28.998532
    Unten rechts KachelX + 1 36744 KachelY + 1 38288 0.38119423 -0.50611986 21.840821 -28.998532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50603600--0.50611986) × R
    8.38599999999357e-05 × 6371000     		dl = 534.27205999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50603600--0.50611986) × R
    8.38599999999357e-05 × 6371000     		dr = 534.27205999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38109835-0.38119423) × cos(-0.50603600) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.874672780347097 × 6371000     		do = 534.295162391007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38109835-0.38119423) × cos(-0.50611986) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.874632129167169 × 6371000     		du = 534.270330557585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50603600)-sin(-0.50611986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874672780347097-0.874632129167169)×R²
    abs(0.38119423-0.38109835)×4.06511799274645e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.06511799274645e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.06511799274645e-05×40589641000000     		ar = 285452.343748344m²