Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36743 / 28807
↖ ↑ ↗
← N 70.489153°
W 79.082336°		 ← 102.01 m → N 70.489153°
W 79.079590°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 70.488236°
W 79.082336°		 ← 102.01 m →
10 405 m²		 N 70.488236°
W 79.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280330657958984 y=0.219783782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280330657958984 × 217)
    floor (0.280330657958984 × 131072)
    floor (36743.5)     		tx = 36743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219783782958984 × 217)
    floor (0.219783782958984 × 131072)
    floor (28807.5)     		ty = 28807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36743 / 28807 ti = "17/36743/28807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36743/28807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36743 ÷ 217
    36743 ÷ 131072     		x = 0.280326843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28807 ÷ 217
    28807 ÷ 131072     		y = 0.219779968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280326843261719 × 2 - 1) × π
    -0.439346313476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.38024715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219779968261719 × 2 - 1) × π
    0.560440063476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.76067438614504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38024715} λ = -1.38024715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76067438614504))-π/2
    2×atan(5.81635854368606)-π/2
    2×1.40053206966542-π/2
    2.80106413933084-1.57079632675     		φ = 1.23026781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38024715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.082336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23026781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.489153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36743 KachelY 28807 -1.38024715 1.23026781 -79.082336 70.489153
    Oben rechts KachelX + 1 36744 KachelY 28807 -1.38019921 1.23026781 -79.079590 70.489153
    Unten links KachelX 36743 KachelY + 1 28808 -1.38024715 1.23025180 -79.082336 70.488236
    Unten rechts KachelX + 1 36744 KachelY + 1 28808 -1.38019921 1.23025180 -79.079590 70.488236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23026781-1.23025180) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23026781-1.23025180) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38024715--1.38019921) × cos(1.23026781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333985307215343 × 6371000     		do = 102.007709605306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38024715--1.38019921) × cos(1.23025180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334000397850807 × 6371000     		du = 102.01231867381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23026781)-sin(1.23025180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333985307215343-0.334000397850807)×R²
    abs(-1.38019921--1.38024715)×1.50906354639546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50906354639546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50906354639546e-05×40589641000000     		ar = 10404.9918594346m²