Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36742 / 38304
↖ ↑ ↗
← S 29.075375°
E 21.829834°		 ← 533.82 m → S 29.075375°
E 21.835327°		 →
↑
533.83 m
↓
↑
533.83 m
↓
S 29.080176°
E 21.829834°		 ← 533.79 m →
284 959 m²		 S 29.080176°
E 21.835327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560646057128906 y=0.584480285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560646057128906 × 216)
    floor (0.560646057128906 × 65536)
    floor (36742.5)     		tx = 36742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584480285644531 × 216)
    floor (0.584480285644531 × 65536)
    floor (38304.5)     		ty = 38304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36742 / 38304 ti = "16/36742/38304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36742/38304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36742 ÷ 216
    36742 ÷ 65536     		x = 0.560638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38304 ÷ 216
    38304 ÷ 65536     		y = 0.58447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560638427734375 × 2 - 1) × π
    0.12127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38100248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38100248} λ = 0.38100248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530757352593262))-π/2
    2×atan(0.588159356942443)-π/2
    2×0.531667649336112-π/2
    1.06333529867222-1.57079632675     		φ = -0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38100248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.829834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36742 KachelY 38304 0.38100248 -0.50746103 21.829834 -29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 36743 KachelY 38304 0.38109835 -0.50746103 21.835327 -29.075375
    Unten links KachelX 36742 KachelY + 1 38305 0.38100248 -0.50754482 21.829834 -29.080176
    Unten rechts KachelX + 1 36743 KachelY + 1 38305 0.38109835 -0.50754482 21.835327 -29.080176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50746103--0.50754482) × R
    8.3790000000028e-05 × 6371000     		dl = 533.826090000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50746103--0.50754482) × R
    8.3790000000028e-05 × 6371000     		dr = 533.826090000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38100248-0.38109835) × cos(-0.50746103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873981160683682 × 6371000     		do = 533.817004155986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38100248-0.38109835) × cos(-0.50754482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873940439043774 × 6371000     		du = 533.792131876356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50746103)-sin(-0.50754482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873981160683682-0.873940439043774)×R²
    abs(0.38109835-0.38100248)×4.07216399085364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07216399085364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07216399085364e-05×40589641000000     		ar = 284958.805535162m²