Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36742 / 28806
↖ ↑ ↗
← N 70.490070°
W 79.085083°		 ← 102 m → N 70.490070°
W 79.082336°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 70.489153°
W 79.085083°		 ← 102.01 m →
10 405 m²		 N 70.489153°
W 79.082336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280323028564453 y=0.219776153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280323028564453 × 217)
    floor (0.280323028564453 × 131072)
    floor (36742.5)     		tx = 36742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219776153564453 × 217)
    floor (0.219776153564453 × 131072)
    floor (28806.5)     		ty = 28806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36742 / 28806 ti = "17/36742/28806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36742/28806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36742 ÷ 217
    36742 ÷ 131072     		x = 0.280319213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28806 ÷ 217
    28806 ÷ 131072     		y = 0.219772338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280319213867188 × 2 - 1) × π
    -0.439361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38029509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219772338867188 × 2 - 1) × π
    0.560455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76072232304466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38029509} λ = -1.38029509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76072232304466))-π/2
    2×atan(5.81663736856467)-π/2
    2×1.40054007459458-π/2
    2.80108014918917-1.57079632675     		φ = 1.23028382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38029509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.085083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23028382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.490070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36742 KachelY 28806 -1.38029509 1.23028382 -79.085083 70.490070
    Oben rechts KachelX + 1 36743 KachelY 28806 -1.38024715 1.23028382 -79.082336 70.490070
    Unten links KachelX 36742 KachelY + 1 28807 -1.38029509 1.23026781 -79.085083 70.489153
    Unten rechts KachelX + 1 36743 KachelY + 1 28807 -1.38024715 1.23026781 -79.082336 70.489153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23028382-1.23026781) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23028382-1.23026781) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38029509--1.38024715) × cos(1.23028382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333970216494272 × 6371000     		do = 102.003100510656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38029509--1.38024715) × cos(1.23026781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333985307215343 × 6371000     		du = 102.007709605306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23028382)-sin(1.23026781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333970216494272-0.333985307215343)×R²
    abs(-1.38024715--1.38029509)×1.50907210710871e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50907210710871e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50907210710871e-05×40589641000000     		ar = 10404.5217344901m²