Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3674 / 2738
↖ ↑ ↗
← N 75.920199°
W 99.272461°		 ← 594.38 m → N 75.920199°
W 99.250488°		 →
↑
594.54 m
↓
↑
594.54 m
↓
N 75.914852°
W 99.272461°		 ← 594.61 m →
353 452 m²		 N 75.914852°
W 99.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224273681640625 y=0.167144775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224273681640625 × 214)
    floor (0.224273681640625 × 16384)
    floor (3674.5)     		tx = 3674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167144775390625 × 214)
    floor (0.167144775390625 × 16384)
    floor (2738.5)     		ty = 2738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3674 / 2738 ti = "14/3674/2738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3674/2738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3674 ÷ 214
    3674 ÷ 16384     		x = 0.2242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2738 ÷ 214
    2738 ÷ 16384     		y = 0.1671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.551513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.73263130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1671142578125 × 2 - 1) × π
    0.665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09158280422229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73263130} λ = -1.73263130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09158280422229))-π/2
    2×atan(8.09772213495384)-π/2
    2×1.44792688139877-π/2
    2.89585376279753-1.57079632675     		φ = 1.32505744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73263130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32505744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.920199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3674 KachelY 2738 -1.73263130 1.32505744 -99.272461 75.920199
    Oben rechts KachelX + 1 3675 KachelY 2738 -1.73224780 1.32505744 -99.250488 75.920199
    Unten links KachelX 3674 KachelY + 1 2739 -1.73263130 1.32496412 -99.272461 75.914852
    Unten rechts KachelX + 1 3675 KachelY + 1 2739 -1.73224780 1.32496412 -99.250488 75.914852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32505744-1.32496412) × R
    9.33199999999523e-05 × 6371000     		dl = 594.541719999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32505744-1.32496412) × R
    9.33199999999523e-05 × 6371000     		dr = 594.541719999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73263130--1.73224780) × cos(1.32505744) × R
    0.000383500000000092 × 0.243273080169748 × 6371000     		do = 594.383886407663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73263130--1.73224780) × cos(1.32496412) × R
    0.000383500000000092 × 0.243363595575818 × 6371000     		du = 594.605040753234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32505744)-sin(1.32496412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243273080169748-0.243363595575818)×R²
    abs(-1.73224780--1.73263130)×9.05154060705515e-05×R²
    0.000383500000000092×9.05154060705515e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.05154060705515e-05×40589641000000     		ar = 353451.76116357m²