Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3674 / 2232
↖ ↑ ↗
← N 63.074866°
W 18.544922°		 ← 2 212.73 m → N 63.074866°
W 18.500977°		 →
↑
2 213.48 m
↓
↑
2 213.48 m
↓
N 63.054959°
W 18.544922°		 ← 2 214.24 m →
4 899 502 m²		 N 63.054959°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44854736328125 y=0.27252197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44854736328125 × 213)
    floor (0.44854736328125 × 8192)
    floor (3674.5)     		tx = 3674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27252197265625 × 213)
    floor (0.27252197265625 × 8192)
    floor (2232.5)     		ty = 2232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3674 / 2232 ti = "13/3674/2232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3674/2232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3674 ÷ 213
    3674 ÷ 8192     		x = 0.448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2232 ÷ 213
    2232 ÷ 8192     		y = 0.2724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.10302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32366995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32366995} λ = -0.32366995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42967009426855))-π/2
    2×atan(4.17732084248504)-π/2
    2×1.33583020416517-π/2
    2.67166040833034-1.57079632675     		φ = 1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32366995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3674 KachelY 2232 -0.32366995 1.10086408 -18.544922 63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 3675 KachelY 2232 -0.32290296 1.10086408 -18.500977 63.074866
    Unten links KachelX 3674 KachelY + 1 2233 -0.32366995 1.10051665 -18.544922 63.054959
    Unten rechts KachelX + 1 3675 KachelY + 1 2233 -0.32290296 1.10051665 -18.500977 63.054959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10086408-1.10051665) × R
    0.000347429999999926 × 6371000     		dl = 2213.47652999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10086408-1.10051665) × R
    0.000347429999999926 × 6371000     		dr = 2213.47652999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32366995--0.32290296) × cos(1.10086408) × R
    0.000766989999999967 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 2212.73061306852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32366995--0.32290296) × cos(1.10051665) × R
    0.000766989999999967 × 0.453135618624911 × 6371000     		du = 2214.24415987053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10086408)-sin(1.10051665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.453135618624911)×R²
    abs(-0.32290296--0.32366995)×0.000309740894376409×R²
    0.000766989999999967×0.000309740894376409×6371000²
    0.000766989999999967×0.000309740894376409×40589641000000     		ar = 4899502.42868194m²