Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36737 / 27015
↖ ↑ ↗
← N 30.111870°
E 21.802368°		 ← 528.36 m → N 30.111870°
E 21.807861°		 →
↑
528.35 m
↓
↑
528.35 m
↓
N 30.107118°
E 21.802368°		 ← 528.39 m →
279 164 m²		 N 30.107118°
E 21.807861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560569763183594 y=0.412223815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560569763183594 × 216)
    floor (0.560569763183594 × 65536)
    floor (36737.5)     		tx = 36737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412223815917969 × 216)
    floor (0.412223815917969 × 65536)
    floor (27015.5)     		ty = 27015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36737 / 27015 ti = "16/36737/27015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36737/27015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36737 ÷ 216
    36737 ÷ 65536     		x = 0.560562133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27015 ÷ 216
    27015 ÷ 65536     		y = 0.412216186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560562133789062 × 2 - 1) × π
    0.121124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38052311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412216186523438 × 2 - 1) × π
    0.175567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.551561967028366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38052311} λ = 0.38052311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551561967028366))-π/2
    2×atan(1.73596241737862)-π/2
    2×1.04817379979121-π/2
    2.09634759958242-1.57079632675     		φ = 0.52555127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38052311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.802368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52555127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.111870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36737 KachelY 27015 0.38052311 0.52555127 21.802368 30.111870
    Oben rechts KachelX + 1 36738 KachelY 27015 0.38061898 0.52555127 21.807861 30.111870
    Unten links KachelX 36737 KachelY + 1 27016 0.38052311 0.52546834 21.802368 30.107118
    Unten rechts KachelX + 1 36738 KachelY + 1 27016 0.38061898 0.52546834 21.807861 30.107118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52555127-0.52546834) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dl = 528.347030000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52555127-0.52546834) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dr = 528.347030000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38052311-0.38061898) × cos(0.52555127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86504750645848 × 6371000     		do = 528.360437413824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38052311-0.38061898) × cos(0.52546834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86508910863182 × 6371000     		du = 528.385847512505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52555127)-sin(0.52546834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86504750645848-0.86508910863182)×R²
    abs(0.38061898-0.38052311)×4.16021733394834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16021733394834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16021733394834e-05×40589641000000     		ar = 279164.380712604m²