Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36735 / 38783
↖ ↑ ↗
← S 31.348946°
E 21.791382°		 ← 521.68 m → S 31.348946°
E 21.796875°		 →
↑
521.66 m
↓
↑
521.66 m
↓
S 31.353637°
E 21.791382°		 ← 521.65 m →
272 129 m²		 S 31.353637°
E 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560539245605469 y=0.591789245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560539245605469 × 216)
    floor (0.560539245605469 × 65536)
    floor (36735.5)     		tx = 36735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591789245605469 × 216)
    floor (0.591789245605469 × 65536)
    floor (38783.5)     		ty = 38783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36735 / 38783 ti = "16/36735/38783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36735/38783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36735 ÷ 216
    36735 ÷ 65536     		x = 0.560531616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38783 ÷ 216
    38783 ÷ 65536     		y = 0.591781616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560531616210938 × 2 - 1) × π
    0.121063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38033136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591781616210938 × 2 - 1) × π
    -0.183563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.576680902429275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38033136} λ = 0.38033136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576680902429275))-π/2
    2×atan(0.561759811323239)-π/2
    2×0.511827002648902-π/2
    1.0236540052978-1.57079632675     		φ = -0.54714232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38033136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.791382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54714232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.348946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36735 KachelY 38783 0.38033136 -0.54714232 21.791382 -31.348946
    Oben rechts KachelX + 1 36736 KachelY 38783 0.38042724 -0.54714232 21.796875 -31.348946
    Unten links KachelX 36735 KachelY + 1 38784 0.38033136 -0.54722420 21.791382 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 36736 KachelY + 1 38784 0.38042724 -0.54722420 21.796875 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54714232--0.54722420) × R
    8.18800000000897e-05 × 6371000     		dl = 521.657480000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54714232--0.54722420) × R
    8.18800000000897e-05 × 6371000     		dr = 521.657480000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38033136-0.38042724) × cos(-0.54714232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85401471186886 × 6371000     		do = 521.676150686827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38033136-0.38042724) × cos(-0.54722420) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 521.650127901237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54714232)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85401471186886-0.853972111029799)×R²
    abs(0.38042724-0.38033136)×4.26008390614907e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26008390614907e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26008390614907e-05×40589641000000     		ar = 272129.478805607m²