Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36735 / 38273
↖ ↑ ↗
← S 28.926439°
E 21.791382°		 ← 534.64 m → S 28.926439°
E 21.796875°		 →
↑
534.59 m
↓
↑
534.59 m
↓
S 28.931247°
E 21.791382°		 ← 534.62 m →
285 808 m²		 S 28.931247°
E 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560539245605469 y=0.584007263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560539245605469 × 216)
    floor (0.560539245605469 × 65536)
    floor (36735.5)     		tx = 36735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584007263183594 × 216)
    floor (0.584007263183594 × 65536)
    floor (38273.5)     		ty = 38273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36735 / 38273 ti = "16/36735/38273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36735/38273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36735 ÷ 216
    36735 ÷ 65536     		x = 0.560531616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38273 ÷ 216
    38273 ÷ 65536     		y = 0.583999633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560531616210938 × 2 - 1) × π
    0.121063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38033136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583999633789062 × 2 - 1) × π
    -0.167999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.527785264816818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38033136} λ = 0.38033136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527785264816818))-π/2
    2×atan(0.589910018448967)-π/2
    2×0.532967360608041-π/2
    1.06593472121608-1.57079632675     		φ = -0.50486161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38033136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.791382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50486161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.926439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36735 KachelY 38273 0.38033136 -0.50486161 21.791382 -28.926439
    Oben rechts KachelX + 1 36736 KachelY 38273 0.38042724 -0.50486161 21.796875 -28.926439
    Unten links KachelX 36735 KachelY + 1 38274 0.38033136 -0.50494552 21.791382 -28.931247
    Unten rechts KachelX + 1 36736 KachelY + 1 38274 0.38042724 -0.50494552 21.796875 -28.931247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50486161--0.50494552) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dl = 534.590610000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50486161--0.50494552) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dr = 534.590610000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38033136-0.38042724) × cos(-0.50486161) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875241420157074 × 6371000     		do = 534.64251686021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38033136-0.38042724) × cos(-0.50494552) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.875200830956747 × 6371000     		du = 534.617722887118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50486161)-sin(-0.50494552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875241420157074-0.875200830956747)×R²
    abs(0.38042724-0.38033136)×4.05892003269015e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.05892003269015e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.05892003269015e-05×40589641000000     		ar = 285808.242075669m²