Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36733 / 27012
↖ ↑ ↗
← N 30.126124°
E 21.780395°		 ← 528.34 m → N 30.126124°
E 21.785889°		 →
↑
528.28 m
↓
↑
528.28 m
↓
N 30.121373°
E 21.780395°		 ← 528.36 m →
279 120 m²		 N 30.121373°
E 21.785889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560508728027344 y=0.412178039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560508728027344 × 216)
    floor (0.560508728027344 × 65536)
    floor (36733.5)     		tx = 36733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412178039550781 × 216)
    floor (0.412178039550781 × 65536)
    floor (27012.5)     		ty = 27012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36733 / 27012 ti = "16/36733/27012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36733/27012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36733 ÷ 216
    36733 ÷ 65536     		x = 0.560501098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27012 ÷ 216
    27012 ÷ 65536     		y = 0.41217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560501098632812 × 2 - 1) × π
    0.121002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38013961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41217041015625 × 2 - 1) × π
    0.1756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.551849588426086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38013961} λ = 0.38013961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551849588426086))-π/2
    2×atan(1.73646178912705)-π/2
    2×1.04829819390113-π/2
    2.09659638780226-1.57079632675     		φ = 0.52580006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38013961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.780395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52580006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.126124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36733 KachelY 27012 0.38013961 0.52580006 21.780395 30.126124
    Oben rechts KachelX + 1 36734 KachelY 27012 0.38023549 0.52580006 21.785889 30.126124
    Unten links KachelX 36733 KachelY + 1 27013 0.38013961 0.52571714 21.780395 30.121373
    Unten rechts KachelX + 1 36734 KachelY + 1 27013 0.38023549 0.52571714 21.785889 30.121373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52580006-0.52571714) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dl = 528.283319999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52580006-0.52571714) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dr = 528.283319999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38013961-0.38023549) × cos(0.52580006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864922664244018 × 6371000     		do = 528.339289538961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38013961-0.38023549) × cos(0.52571714) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864964279245959 × 6371000     		du = 528.364710124487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52580006)-sin(0.52571714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864922664244018-0.864964279245959)×R²
    abs(0.38023549-0.38013961)×4.16150019406647e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16150019406647e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16150019406647e-05×40589641000000     		ar = 279119.548759902m²