Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36732 / 38300
↖ ↑ ↗
← S 29.056170°
E 21.774902°		 ← 533.92 m → S 29.056170°
E 21.780395°		 →
↑
533.89 m
↓
↑
533.89 m
↓
S 29.060971°
E 21.774902°		 ← 533.89 m →
285 046 m²		 S 29.060971°
E 21.780395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560493469238281 y=0.584419250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560493469238281 × 216)
    floor (0.560493469238281 × 65536)
    floor (36732.5)     		tx = 36732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584419250488281 × 216)
    floor (0.584419250488281 × 65536)
    floor (38300.5)     		ty = 38300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36732 / 38300 ti = "16/36732/38300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36732/38300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36732 ÷ 216
    36732 ÷ 65536     		x = 0.56048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38300 ÷ 216
    38300 ÷ 65536     		y = 0.58441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56048583984375 × 2 - 1) × π
    0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1688232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.530373857396301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38004374} λ = 0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530373857396301))-π/2
    2×atan(0.588384956486283)-π/2
    2×0.531835248738527-π/2
    1.06367049747705-1.57079632675     		φ = -0.50712583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50712583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.056170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36732 KachelY 38300 0.38004374 -0.50712583 21.774902 -29.056170
    Oben rechts KachelX + 1 36733 KachelY 38300 0.38013961 -0.50712583 21.780395 -29.056170
    Unten links KachelX 36732 KachelY + 1 38301 0.38004374 -0.50720963 21.774902 -29.060971
    Unten rechts KachelX + 1 36733 KachelY + 1 38301 0.38013961 -0.50720963 21.780395 -29.060971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50712583--0.50720963) × R
    8.37999999999672e-05 × 6371000     		dl = 533.889799999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50712583--0.50720963) × R
    8.37999999999672e-05 × 6371000     		dr = 533.889799999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38004374-0.38013961) × cos(-0.50712583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874144005306976 × 6371000     		do = 533.916467660304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38004374-0.38013961) × cos(-0.50720963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874103303358374 × 6371000     		du = 533.891607407883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50712583)-sin(-0.50720963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874144005306976-0.874103303358374)×R²
    abs(0.38013961-0.38004374)×4.07019486022842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07019486022842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07019486022842e-05×40589641000000     		ar = 285045.919985076m²